barkalov_k_a_metody_parallelnyh_vychislenii_metodicheskoe_po

Из первого уравнения системы

c1x1+b1x2 f1

находим

2 b1/c1, 2 f1/c1.

Зная 2, 2 и переходя от i к i+1 в формулах (1.4), определим i, i для всех i 3,…,n.

Определим xn из последнего уравнения системы и условия (1.3) при i n 1.

xn 1 nxn+ n

(1.5)

anxn 1+cnxn fn

Решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными, находим

xn fn an n . an n cn

После того, как значение xn найдено, определяем все остальные значения xi в обратном порядке, используя формулу (1.3). Соберем теперь все формулы прогонки и запишем их в порядке применения.

Прямой ход :

(1.6)

2 f1/c1, i 1 fi ai i , i 2,…,n 1.

ai i ci

Обратный хо д:

Известно [4], что для вычислительной устойчивости метода прогонки необходимо выполнение условия диагонального преобла дания

|c1| |b1|, |cn| |an|,

Оценим трудоемкость метода прогонки. При выполнении прямого хода по формулам (1.6) потребуется 8(n–2)+2 операций. Для выполнения обратного хода по формулам (1.7) потребуется 2(n–1)+5 операций. Таким образом, общее число операций можно оценить величиной

а время решения системы методом прогонки при больших n будет определяться как

T1 10n ,

где время выполнения одной операции.

1.1.1. Метод встречной прогонки и его распараллеливание

Рассмотренный в предыдущем пункте метод прогонки, определяемый соотношениями (1.6) и (1.7), при котором определение xi происходит последовательно справа налево, называют правой прогонкой. Аналогично выписываются формулы левой прогонки.

Прямой ход :

В самом деле, предполагая, что xi+1 i+1xi+ i+1, исключим из i-го уравнения системы переменную xi+1, получим

aixi 1+cixi+bi( i+1xi+ i+1) fi,

или

Сравнивая с формулой xi ixi 1+ i, получим расчетные формулы (1.9). Значение x1 находим из первого уравнения и условия x2 2x1+ 2, затем, используя условие xi ixi 1+ i и известные коэффициенты i, i, можно найти все остальные значения неизвестных.

Нетрудно видеть, что трудоемкость левой прогонки составляет также

10n+O(1).

Комбинация левой и правой прогонок дает метод встречной п рогонки, который допускает распараллеливание на два потока. Разделим систему между двумя потоками – первый будет оперировать уравнениями с номе-

рами 1 i p, второй – уравнениями p i n, где p n2 .

При параллельном решении системы в первом потоке по формулам (1.4) вычисляются прогоночные коэффициенты i, i, при 1 i p, а во втором потоке по формулам (1.9) находятся i, i, при p i n. При i p проводится сопряжение решений в форме (1.7) и (1.10): находим значение xp из системы

Найдя указанное значение, в первом потоке можно по формуле (1.7) найти все xi, при 1 i<p, а во втором по формуле (1.10) – все xi, при p<i n.

Трудоемкость метода параллельной встречной прогонки можно оценить как

T2 5n ,

где δ – время, необходимое на организацию и закрытие параллельной секции. Следует отметить, что расчеты и при прямом, и при обратном ходе производятся независимо, теоретическое ускорение здесь должно быть равно двум.

1.1.2. Параллельный вариант метода прогонки

Рассмотрим теперь схему распараллеливания метода прогонки при использовании p потоков. Пусть нужно решить трехдиагональную систему линейных уравнений

с использованием p параллельных потоков.

Применим блочный подход к разделению данных: пусть каждый поток обрабатывает m n / p строк матрицы A, т.е. k-й поток обрабатывает стро-

ки с номерами 1+(k–1)m i km. Для простоты изложения мы предполагаем, что число уравнений в системе кратно числу потоков, в общем случае изменится только число уравнений в последнем потоке. Ниже представлено разделение данных для трех потоков в случае системы из 12 уравнений.