Задание № 5. Расчёт сжатых стержней на устойчивость

3	3	2	8	0	7
А	Б	В	Г	Д	Е

Дано: Стальной стержень длиной L сжимается силой Р.

Случай А Случай В

Требуется найти:

1) размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ]= 160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задаваясь величиной коэффициента φ = 0,5);

2) величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Данные взять из таблицы.

P, kH	l, м	Форма сечения
500	2,6

Решение:

1.Определим площадь сечения и главные моменты инерции сечения:

Þ

2. Определим минимальный радиус инерции.

3. Определим размеры поперечного сечения стержня последовательным приближением, задавшись:

- в первом приближении задаемся j₁ = 0,5, тогда из условия устойчивости:

Þ

Определим гибкость стержня для случая А и В по формуле:

,

где - коэффициент, величина зависит от способа соединения концов стержня:

- для случая А - = 0,7;

- для случая В - = 2.

Рассмотрим случай А:

,

j _1табл = 0,75;

j _1табл = 0,81;

j _1табл = 0,81 -

Между j ₁ = 0,5 и j _1табл = 0,775 разница 35,4 % (> 5% ), поэтому принимаем второе приближение:

j ₂

тогда:

j _{2 табл} = 0,75;

j _{2 табл} = 0,69;

j _{2 табл} = 0,75 -

Между j ₂ = 0,63 и j _{2 табл} = 0,72 разница 13,4 % (> 5% ), поэтому принимаем третье приближение:

j ₃

тогда:

j _{3 табл} = 0,75;

j _{3 табл} = 0,69;

j _{3 табл} = 0,75 -

Между j ₃ = 0,67 и j _{3 табл} = 0,71 разница 5,9 % (> 5% ), поэтому принимаем четвертое приближение:

j ₄

тогда:

j _{4 табл} = 0,75;

j _{4 табл} = 0,69;

j _{4 табл} = 0,75 -

Между j ₄ = 0,69 и j _{4 табл} = 0,7 разница 2,3 % (<5% ), поэтому принимаем четвертое приближение:

а

- поэтому критическую нагрузку определяем по формуле

Ясинского ( - для стальных стержней)

,

где а и в - коэффициенты, МПа;

; ;

А - площадь треугольного стального стержня, :

,

Определим коэффициент запаса устойчивости:

Рассмотрим случай В ( для случая В - = 2):

Таблицей строительных норм и правил воспользоваться не удастся, т.к. превышает предельное значение 200 единиц, поэтому для вычисления гибкости воспользуемся приближенной формулой:

,

разница равна 73%, поэтому переходим ко второй итерации:

φ₂=₌

тогда:

j _{2 табл} = 0,29;

j _{2 табл} = 0,26

j _{2 табл} = 0,29 -

Между j ₂ = 0,32 и j _{2 табл} = 0,26 разница 15,9 % (> 5% ), поэтому принимаем третье приближение:

j ₃

тогда:

j _3табл = 0,29;

j _{3 табл} = 0,26

j _{3 табл} = 0,29 -

Между j ₃ = 0,29 и j _{3 табл} = 0,285 разница 1.6 % (<5% ), поэтому принимаем третье приближение:

а

- поэтому критическую нагрузку определяем по формуле

Эйлера (- для стальных стержней)

= =

=

Определим коэффициент запаса устойчивости:

Случай А: а, ,.

Случай В: а,;.

Вывод: Устойчивость сжатого стержня на схеме А выше т.к. его гибкость меньше, чем у схемы Б. А()<Б()

Список литературы

1. Ю.М. Лахтин. Металловедение и термическая обработка металлов. Учебник для вузов. 3-е изд.М., «металлургия», 1984. 360 с

2. Александров А.В., Потапов В. Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. Учебник для вузов .-2-е изд. Исп.-М.Высш.школа, 2001.-560

3. Степин П.А. Сопротивление материалов. Учеб. Для немашиностроит.спец. вузов. -8-е изд.-М. Высш.шк., 1988.-367с.ил

21