Задачи для самостоятельного решения Группа а

1. Найти наибольший общий делитель чисел 882; 1008 и 1334. (Ответ: 126.)

2. Найти наименьшее общее кратное чисел 40; 64 и 112 (Ответ: 2240.)

3. Произведение двух чисел равно 3042, а их наибольший общий делитель равен 78. Найти наименьшее общее кратное этих чисел. (Ответ: 9.)

4. Найти два натуральных числа, сумма которых равна 35, а наименьшее общее кратное равно 42. (Ответ: (14; 21).)

5. Найти пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45.

(Ответ: (23; 22), (9; 6), (7; 2).)

6. При каких целых значениях дробьявляется натуральным числом?

(Ответ:;;5.)

7. Найти все пятизначные числа вида (- цифра сотен,- цифра единиц), которые делятся на 15. В ответ записать их количество. (Ответ: 7.)

8. Доказать, что - иррациональное число.

9. Доказать, что - иррациональное число.

10. Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби: а) ; б); в). (Ответ: а) , б) , в) .)

Группа b

1. Найти значение выражения . (Ответ: 1.)

2. Найти значение выражения . (Ответ: 3,08.)

3. Существуют ли такие натуральные и, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю: а); б)?

(Ответ: а) Да, например, 6 и 2; б) да, например, 2 и 1.)

4. Методом математической индукции докажите формулу общего члена арифметической прогрессии .

5. Методом математической индукции докажите формулу суммы первых членов арифметической прогрессии.

6. Методом математической индукции докажите формулу общего члена геометрической прогрессии .

7. Докажите, что при любом натуральном значении выполняется равенство:

.

8. Докажите, что для любого натурального значения справедливо утверждение:.

9. Докажите, что .

10. Докажите, что для любого натурального числа.

Группа с

1. Методом математической индукции докажите неравенство: , где.

2. Методом математической индукции докажите неравенство: , где,.

3. Методом математической индукции докажите, что для любого натурального значения справедливо утверждение:.

4. Методом математической индукции докажите, что для любого натурального числа выполняется неравенство.

5. Методом математической индукции докажите, что для любого натурального числа справедливо неравенство.

2. Функции действительного переменного

2.1. Понятие функции

Изучение различных явлений связано с использованием переменных величин. Например, объем конуса зависит от радиуса его основания и высоты, цена покупки от веса товара, оценка на экзамене – от количества решенных задач и т. д.

Определение 2.1. Пусть заданы некоторые непустые числовые множества и. Если каждому числуставится в соответствие по некоторому законуединственное значение, то говорят, что на множествезаданафункция или.

Переменную называют независимой переменной(аргументом), а переменную – зависимой переменной (функцией от аргумента ). Множество – областью определения функции, а множество всех значений , таких, что,, называютмножеством значений (областью значений) функции.

Для функции приняты обозначения:– область определения функции,- множество значений функции,– значение функции в точке.

Если и , то функцию называют числовой.

Элементы множества также называютзначениями аргумента, а соответствующие им элементы –значениями функции.

Таким образом, символ обозначает число, которое в силу законасоответствует значению. Например,есть значение функциив точке, если. Если жене принадлежит(), то говорят, что функцияне определена в точке .

Существуют функции, для которых всем значениям соответствует одно и то же значение. В этом случае функции называютконстантами.

Если функция задана формулой и область определения не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. В этом случае говорят о естественной области определения функции.

Например, область определения функции состоит из всех чисел, кроме числа.

Пример 2.1. Найти область определения функции .

Решение. Область определения данной функции задается условием

.

Ответ: .

Пример 2.2. Найти область определения функции .

Решение. Учитывая, что для функции ,, получаем область определения данной функции:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Найти область определения функции

.

Решение. Область определения функции задается неравенством

, ,.

Ответ: ,.

Пример 2.4. Найти множество значений функций

а) ; б).

Решение. а) Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат

.

Учитывая ограниченность функции :, и, умножая, все части неравенства на положительное число, получаем. Вычтем из всех частей неравенства:, тогда. Продолжим преобразования:

.

б) Множество значений функции состоит из таких чисел , для каждого из которых существует число, являющееся решением уравнения. Рассмотрим уравнениеотносительно неизвестнойи выясним, при какихоно имеет решение:

.

При получаем линейное уравнение.

При получаем квадратное уравнение, имеющее решение только в случае неотрицательного дискриминанта:

Ответ: а) ; б) .

Пример 2.5. Найти множество значений функции

Решение. При получаем. Приполучаем, тогда имеем .

Ответ: .

Определение 2.2. Функции и называютсятождественно равными на множестве , если они определены на данном множестве и для каждогосправедливо числовое равенство(при этом пишут ).

Например: 1) для всех; 2),.

Определение 2.3 Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.