
- •Содержание
- •Предисловие
- •1. Числовые множества
- •1.1. Натуральные и целые числа
- •Способы нахождения наибольшего общего делителя (нод).
- •1.2. Рациональные числа
- •1.3. Иррациональные числа
- •1.4. Действительные числа. Числовые промежутки
- •1.5. Модуль действительного числа
- •Свойства модулей
- •1.6. Метод математической индукции
- •Задачи для самостоятельного решения Группа а
- •Группа b
- •Группа с
- •2. Функции действительного переменного
- •2.1. Понятие функции
- •Способы задания функции
- •2.2. Свойства функции Монотонность функции
- •Четные и нечетные функции
- •Свойства четных и нечетных функций
- •Периодические функции
- •Промежутки знакопостоянства и нули функции
- •Ограниченность функции
- •Свойства ограниченных функций
- •2.3. Основные элементарные функции
- •2.4. Элементарные функции. Классификация функций
- •Обратная функция
- •Сложная функция
- •Понятие элементарной функции
- •Классификация функций
- •2.5. Геометрические преобразования графиков функции
- •Задачи для самостоятельного решения Группа а
- •Группа b
- •Группа с
- •3. Степени. Многочлены. Корни. Алгебраические выражения
- •3.1. Степень действительного числа
- •3.2. Многочлены. Действия над многочленами
- •Действия над одночленами и многочленами
- •3.3. Преобразование алгебраических выражений
- •Задачи для самостоятельного решения Группа а
- •Группа b
- •Группа с
- •4. Уравнения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Линейные уравнения
- •4.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
- •Разложение квадратного трехчлена на множители
- •4.4. Рациональные и дробно-рациональные уравнения
- •4.5. Уравнения с модулем
- •4.6. Иррациональные уравнения
- •Задачи для самостоятельного решения Группа а
- •Группа b
- •Группа с
- •5. Неравенства
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Квадратные неравенства
- •5.3. Рациональные и дробно-рациональные неравенства. Метод интервалов для рациональных неравенств
- •5.4. Неравенства с модулем
- •5.5. Иррациональные неравенства
- •Задачи для самостоятельного решения Группа а
- •Группа b
- •Группа с
5.4. Неравенства с модулем
Рассмотрим некоторые виды неравенств, содержащих знак модуля, и методы их решения.
1.
В частности,
,
где
,
.
При
неравенство решений не имеет.
2.
В частности,
,
.
При
неравенство выполняется для всех
при которых функция
определена.
3.
.
Последнее неравенство решается методом интервалов.
4. Неравенство вида
решают с помощью замены
.
Пример 5.6. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.7. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.8. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.9. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.10. Решить
неравенство
.
Решение. Из
свойств модуля следует, что
.
Поэтому
.
Ответ:
.
Пример 5.11. Решить
неравенство
.
Решение.
Ответ:
.
Пример 5.12. Решить
неравенство
.
Решение.
Введем
замену
,
тогда исходное неравенство имеет вид:
.
Переходя обратно
к переменной
,
получим:
.
Ответ:
.
Пример 5.13. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.14. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
5.5. Иррациональные неравенства
К основным методам решения иррациональных неравенств относятся:
1. сведение исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или к совокупности неравенств:
a)
,
в частности, для
,
б)
,
,
в частности, для
,
б)
,
в частности, для
,
;
2. введение новой переменной;
3.
,
4.
Пример 5.15. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.16. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 5.17. Решить неравенство
.
Решение.
,
последняя система, а, следовательно, и исходное неравенство, решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 5.18. Решить
неравенство
.
Решение.
.
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения Группа а
1. Укажите длину промежутка, который является решением неравенства:
(Ответ:
.)
2. Найти произведение всех целых решений неравенства:
.
(Ответ:
.)
Решить неравенство (3-15)
3.
.
(Ответ:
.)
4.
(Ответ:
.)
5.
(Ответ:
.)
6.
.
(Ответ:
.)
7.
.
(Ответ:
.)
8.
.
(Ответ:
.)
9.
.
(Ответ:
.)
10.
.
(Ответ:
.)
11.
.
(Ответ:
.)
12.
.
(Ответ:
.)
13.
.
(Ответ:
.)
12.
.
(Ответ:
.)
13.
.
(Ответ:
.)
14.
.
(Ответ:
.)
15.
.
(Ответ:
.)