4.6. Иррациональные уравнения
Определение 4.10. Иррациональное уравнение – это уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Замечание 4.5. Корни четной степени, входящие в уравнения, считаются арифметическими (то есть подкоренное выражение должно быть неотрицательным и при этом значение корня также является неотрицательным). Подкоренное выражение корней нечетной степени может принимать любое действительное значение и в зависимости от знака корни могут принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения.
К основным методам решения иррациональных уравнений относятся:
1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень:
a)
,
,
в частности для
,
,
б)
,
,
в частности для
,
;
2. введение новой переменной.
Пример 4.29. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 4.30. Решить
уравнение
.
Решение.
Ответ:
;
.
Пример 4.31. Решить
уравнение
.
Решение. Введем
новую переменную
,
,
тогда исходное уравнение примет вид:
.
Делая обратную
подстановку, получаем
.
Ответ:
.
Пример 4.32. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 4.33. Решить
уравнение
.
Решение.
Ответ:
.
Пример 4.34. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Ответ:
.
Рассмотрим далее иррациональные уравнения, содержащие два или три корня третьей степени. Обычно при решении таких уравнвений используют два способа: 1) метод «замены»; 2) метод составления системы уравнений.
Замечание 4.6. В методе «замены» используются не тождественные преобразования уравнений, а переход от уравнения к следствию. Поэтому после решения уравнения данным способом необходимо сделать проверку полученных решений.
Пример 4.35. Решить
уравнение
.
Решение. Решим данное уравнение указанными выше способами.
Способ 1 (метод «замены».) Возведем обе части уравнения в куб, тогда имеем
.
Замним сумму
на 1, тогда получим уравнение
.
Снова возведем обе части уравнения в куб
.
Проверкой убеждаемся,
что
не является решением уравнения.
Следовательно, данное уравнение решений
не имеет.
Способ 2. Рассмотрим
решение данного уравнения
методом составления системы.
Пусть
;
,
тогда
или
По теореме Виета
числа
и
должны быть корнями квадратного уравнения
,
но оно корней не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 4.36. Решить
уравнение
.
Решение. Запишем
уравнение в виде
и рассмотрим функцию
.
Данная функция представляет собой
композицию монотонно возрастающих
функций, поэтому также является монотонно
возрастающей. Следовательно,
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения Группа а
Решить уравнение (1-20)
1.
.(Ответ:
;
.)
2.
.(Ответ:
.)
3.
.
(Ответ:
;
.)
4.
.
(Ответ:
.)
5.
.
(Ответ:
;
2; 7.)
6.
.
(Ответ:
;
1;
.)
7.
.
(Ответ:
.)
8.
.
(Ответ:
.)
9.
.
(Ответ:
.)
10.
.
(Ответ:
.)
11.
.
(Ответ:
.)
12.
.
(Ответ:
.)
13.
.
(Ответ:
.)
14.
.
(Ответ:
.)
15.
.
(Ответ:
.)
16.
.
(Ответ:
.)
17.
.
(Ответ:
.)
18.
.
(Ответ:
.)
19.
.
(Ответ:
.)
20.
.
(Ответ:
.)