4.4. Рациональные и дробно-рациональные уравнения

Определение 4.7. Функция вида , где;– некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Определение 4.8. Целым рациональным уравнением называется уравнение вида , где– целая рациональная функция.

Пример 4.10. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 4.11. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение называют биквадратным. С помощью замены ,, оно может быть сведено к решению квадратного уравнения.

Выполняя указанную выше замену, получаем

Делая обратную подстановку, окончательно имеем

Ответ: ; .

Пример 4.12. Решить уравнение .

Решение. Так как коэффициенты уравнения – целые числа, то попробуем подобрать хотя бы один целый корень. Делителями свободного члена являются числа . Подставляя их в уравнение, убеждаемся, что– корень уравнения.

Проведем деление многочленов:

Тогда .

Аналогично, убеждаемся, что также является корнем многочлена, проведем деление:

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

Дискриминант второго уравнения , следовательно, оно не имеет действительных корней. Таким образом, решением исходного уравнения является.

Ответ: .

Определение 4.9. Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида , где- многочлены.

Решение дробно-рационального уравнения сводится к решению уравнения и проверке того, что найденные корни удовлетворяют условию, то есть дробно-рациональное уравнение равносильно системе:

Пример 4.13. Решить уравнение .

Решение. Найдем предварительно область определения заданного уравнения:

.

Далее все преобразования будем проводить на области определения уравнения. Умножим обе части уравнения на , тогда имеем

.

Ответ: .

Пример 4.14. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения имеет вид:

.

Далее будем проводить решение на области определения уравнения. Так как ;, то естественно сделать замену. Тогда исходное уравнение примет вид:

Делая обратную замену, получаем

.

Ответ: ; .

Пример 4.15. Решить уравнение .

Решение. Непосредственно подстановкой устанавливаем, что не является решением исходного уравнения. Вынесемиз каждой скобки:

.

Делая замену , получаем

Проведем обратную подстановку, тогда

Ответ: ; .

Пример 4.16. Решить уравнение .

Решение. Проведем группировку множителей в левой части уравнения так, чтобы при перемножении были равны первый коэффициент и свободный член:

Далее проведем процедуру аналогично примеру 4.15. Так как не является корнем уравнения, вынесем его за скобки:

.

Сделаем замену: , тогда

или, делая обратную замену, окончательно получаем

.

Ответ: .

Пример 4.17. Решить уравнение .

Решение. Так как не является решением уравнения, разделим обе части уравнения на, тогда получим:

.

Сделаем замену , тогда

Переходя обратно к переменным , имеем

.

Ответ: .

4.5. Уравнения с модулем

Рассмотрим уравнения, содержащие знак модуля. В зависимости от расположения знака модуля можно провести классификацию таких уравнений. Рассмотрим некоторые виды уравнений с модулем и методы их решения.

1.

2. Для решения уравнения вида используют два способа:

а)

б)

Замечание 4.4. Выбор способа a) или б) зависит от того, какое из неравенств илилегче решить.

3.

4. Уравнение вида можно решить, используя замену.

Пример 4.18. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 4.19. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 4.20. Решить уравнение

Решение. Так как функция, стоящая под знаком модуля проще, то при решении исходного уравнения перейдем к совокупности двух систем:

.

Уравнение действительных корней не имеет. Решая вторую систему совокупности, получим

Ответ: .

Пример 4.21. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

Пример 4.22. Решить уравнение

Решение. В силу свойства модуля , тогда исходное уравнение примет вид

Сделаем замену тогда

.

Ответ: ;.

Пример 4.23. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: ;.

Пример 4.24. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: ;.

Пример 4.25. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: ;.

Пример 4.26. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: ;;.

Пример 4.27. Решить уравнение .

Решение. Так как , то

.

Ответ: .

Пример 4.28. Решить уравнение .

Решение. Для решения уравнения, расставим предварительно знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:

Раскроем модули и получим соответствующие уравнения на указанных промежутках:

1. .

2.

3. .

Ответ: 2.