4.2. Линейные уравнения

Определение 4.4. Линейное уравнение – это уравнение вида , где,- переменная.

Число корней линейного уравнения зависит от значений и. Прилинейное уравнение имеет единственное решение; при,- не имеет решений; при,- принимает види имеет бесконечное множество решений:.

Пример 4.1. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на НОК(2; 4; 3)=12:

,

(единственное решение).

Ответ: 62.

Пример 4.2. Решить уравнение: .

Решение. . Не существует таких , которые удовлетворяют последнему уравнению, значит, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 4.3. Решить уравнение .

Решение. . Любое

удовлетворяет последнему уравнению, а значит и исходному. Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: .

4.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним

Определение 4.5. Квадратным уравнением называется уравнение вида , гдеи,– переменная, при этом (при уравнение превращается в линейное.)

Если или, а также в случае одновременного равенства нулю этих коэффициентов квадратное уравнение называютнеполным и решают стандартными способами разложения на множители.

Пример 4.4. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является неполным (), вынесем за скобки общий множитель, тогда имеем:

Ответ: 0; 2.

Пример 4.5. Решить уравнение .

Решение. (): .

Ответ: .

Для решения полного квадратного уравнения используют обычную формулу корней квадратного уравнения:

, где –дискриминант квадратного уравнения.

Возможны три различных случая:

1. если , то уравнение имеетдва различных действительных корня

, ;

2. если , то уравнение имеетдва одинаковых действительных корня

;

3. если , то уравнениене имеет действительных корней.

Пример 4.6. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является полным, здесь ,,,, тогда получаем два различных действительных корня:

; .

Ответ: ; .

Определение 4.6. Уравнение вида , гденазываетсяприведенным квадратным уравнением.

Замечание 4.3. Для решения приведенного квадратного уравнения, часто используют теорему Виета: ,.

Пример 4.7. Решить уравнение: .

Решение. В силу теоремы Виета ,, откуда очевидно,.

Ответ: 2; 3.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положителен, то трехчлен можно представить в виде , где,– корни уравнения . Если дискриминант трехчлена равен нулю, то трехчлен можно представить в виде , где– корень уравнения .

Рассмотрим далее примеры, в которых используется решение квадратных уравнений.

Пример 4.8. Решить уравнение .

Решение. Область определения данного уравнения – все числа, за исключением нуля, то есть . Умножим обе части уравнения наи сгруппируем члены:

.

Ответ: .

Пример 4.9. Решить уравнение .

Решение. Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части исходного уравнения, на множители. Для этого найдем корни уравнений и. Корни первого из них;. Следовательно,. Корни второго –;, тогда

.

Применяя формулы сокращенного умножения, раскладываем на множители знаменатель дроби, стоящей в правой части:

.

Подставим все полученные выражения в исходное уравнение, тогда получим:

.

В область определения данного уравнения, а значит, и исходного, не входят и. Левую часть уравнения сокращаем на, а правую на, тогда получим:

.

Так как знаменатели дробей равны, то и числители равны, следовательно,

.

Ответ: .