3.2. Многочлены. Действия над многочленами

Определение 3.3. Одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем.

Например, каждое из выражений ,,является одночленом.

Говорят, что одночлен имеет стандартный вид, если он содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Числовой множитель одночлена, записного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех его переменных.

Определение 3.4. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Подобные слагаемые – одночлены в многочлене – называют подобными членами многочлена.

Определение 3.5. Многочленом стандартного вида называют многочлен, в котором все слагаемые записаны в стандартном виде и приведены подобные члены. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, – многочлен стандартного вида четвертой степени.

Действия над одночленами и многочленами

Сумму и разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. При сложении двух многочленов записываются все их члены и приводятся подобные члены. При вычитании знаки всех членов вычитаемого многочлена меняются на противоположные.

Например:

,

.

Члены многочлена можно разбивать на группы и заключать в скобки. Поскольку это тождественное преобразование, обратное раскрытию скобок, то устанавливается следующее правило заключения в скобки: если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с их знаками; если перед скобками ставится знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например,

,

.

Правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например,

.

Итак, многочлены можно складывать, вычитать и умножать. При этом в результате снова получится многочлен.

Определение 3.6. Многочленом от одной переменной степениназывают выражение вида

,

где – любые числа, которые называют коэффициентами многочлена, причем ,– целое неотрицательное число.

Если , то коэффициентназываютстаршим коэффициентом многочлена , одночлен– его старшим членом, коэффициент – свободным членом.

Если вместо переменной в многочленподставить действительное число, то в результате получится действительное число, которое называютзначением многочлена при.

Определение 3.7. Число называют корнем многочлена , если .

Рассмотрим деление многочлена на многочлен, гдеи- натуральные числа. Деление возможно, если степень многочлена-делимогоне меньше степени многочлена-делителя, то есть.

Разделить многочлен на многочлен,,– значит найти два таких многочлена и, чтобы

.

При этом многочлен степениназываютмногочленом-частным, – остатком, .

Замечание 3.2. Если делитель – не нуль-многочлен, то деление на,, всегда выполнимо, а частное и остаток определяются однозначно.

Замечание 3.3. В случае, когда при всех , то есть

,

говорят, что многочлен нацело делится(или делится) на многочлен .

Деление многочленов выполняется аналогично делению многозначных чисел: сначала старший член многочлена-делимого делят на старший член многочлена-делителя, затем частное от деления этих членов, которое будет старшим членом многочлена-частного, умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. В результате получают многочлен – первый остаток, который делят на многочлен-делитель аналогичным образом и находят второй член многочлена-частного. Этот процесс продолжают до тех пор, пока получится нулевой остаток или степень многочлена остатка будет меньше степени многочлена-делителя.

При делении многочлена на двучлен можно воспользоваться схемой Горнера.

Схема Горнера

Пусть требуется разделить многочлен

на двучлен . Обозначим частное от деления как многочлен

,

а остаток – . Значение, коэффициенты многочленов,и остатокзапишем в следующей форме:

				…

В этой схеме каждый из коэффициентов , ,, …,получается из предыдущего числа нижней строки умножением на числои прибавлением к полученному результату соответствующего числа верхней строки, стоящего над искомым коэффициентом. Если какая-либо степеньв многочлене отсутствует, то соответствующий коэффициент равен нулю. Определив коэффициенты по приведенной схеме, записываем частное

и результат деления, если ,

или ,

если ,

.

Теорема 3.1. Для того чтобы несократимая дробь (,) была корнем многочлена с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы числобыло делителем свободного члена, а число- делителем старшего коэффициента.

Теорема 3.2. (Теорема Безу) Остаток от деления многочленана двучленравен значению многочленапри, то есть.

При делении многочлена на двучленимеем равенство

.

Оно справедливо, в частности, при , то есть.

Пример 3.2. Разделить на.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

,

или .

Пример 3.3. Разделить на.

Решение. Применим схему Горнера:

Следовательно,

,

или .

Пример 3.4. Разделить на.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

В итоге получаем

.

Пример 3.5. Разделить на.

Решение. Проведем деление многочленов столбиком:

Тогда получаем

.

Иногда бывает полезным представление многочлена в виде равного ему произведения двух или нескольких многочленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. Рассмотрим основные способы такого разложения.

Вынесение общего множителя за скобки. Для того чтобы разложить многочлен на множители способом вынесения общего множителя за скобки, необходимо:

1) найти общий множитель. Для этого, если все коэффициенты многочлена – целые числа, в качестве коэффициента общего множителя рассматривают наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена, а каждую переменную, входящую во все члены многочлена, берут с наибольшем показателем, который она имеет в данном многочлене;

2) найти частное от деления данного многочлена на общий множитель;

3) записать произведение общего множителя и полученного частного.

Группировка членов. При разложении многочлена на множители способом группировки его члены разбиваются на две или более групп с таким расчетом, чтобы каждую из них можно было преобразовать в произведение, и полученные произведения имели бы общий множитель. После этого применяется способ вынесения за скобки общего множителя вновь преобразованных членов.

Применение формул сокращенного умножения. В тех случаях, когда многочлен, подлежащий разложению на множители, имеет вид правой части какой-либо формулы сокращенного умножения, его разложение на множители достигается применением соответствующей формулы, записанной в другом порядке.

Пусть , тогда справедливы следующиеформулы сокращенного умножения:

Для :
Если нечетное ():
Бином Ньютона: , где – число сочетаний изпо.

Введение новых вспомогательных членов. Данный способ заключается в том, что многочлен заменяется другим многочленом, тождественно равным ему, но содержащим другое число членов, путем введения двух противоположных членов или замены какого-либо члена тождественно равной ему суммой подобных одночленов. Замена производится с таким расчетом, чтобы к полученному многочлену можно было применить способ группировки членов.

Пример 3.6. Разложить на множители многочлен .

Решение. Все члены многочлена содержат общий множитель . Следовательно,.

Ответ: .

Пример 3.7. Разложить на множители многочлен .

Решение. Группируем отдельно члены, содержащие коэффициент , и члены, содержащие. Вынося за скобки общие множители групп, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.8. Разложить на множители многочлен .

Решение. Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.9. Разложить на множители многочлен .

Решение. Используя способ группировки и соответствующую формулу сокращенного умножения, получаем:

.

Ответ: .

Пример 3.10. Разложить на множители многочлен .

Решение. Заменим на, сгруппируем члены, применим формулы сокращенного умножения:

.

Ответ: .

Пример 3.11. Разложить на множители многочлен

.

Решение. Так как ,,, то

.

Ответ: .