2.4. Элементарные функции. Классификация функций

Определение 2.15. Функция называется явной, если она задана формулой (например, ). Функция называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной(например, ).

Обратная функция

Пусть есть функция от независимой переменной, определенной на промежуткес областью значений. Поставим в соответствие каждомуединственное значение, при котором. Тогда полученная функция, определенная на промежуткес областью значений, называетсяобратной.

Так как обычно независимую переменную обозначают через , а функцию через, то функция, обратная к функции, примет вид. Обратную функцию так же обозначают. Например, для функцииобратной будет функцияили.

Обратная функция существует для любой строго монотонной функции.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пример 2.9. Для данных функций записать обратную:

а) ; б); в).

Решение. а) Функция возрастает на всей числовой оси, следовательно, для любыхсправедливо, то есть функция взаимно-однозначная, а значит, на всей числовой оси она имеет обратную функцию. Разрешим уравнениеотносительно. Имеем:или в привычном виде(- функция,- аргумент).

б) Функция убывает на всей области определения: . Следовательно, она имеет обратную функцию, которую можно найти, решив относительноуравнение. Получаем:

,

или в привычном виде: .

в) Функция возрастает на промежуткеи, следовательно, имеет на нем обратную функцию. Найдем ее, решив на ОДЗ относительноуравнение:

,

или, окончательно получаем: .

Ответ: а) ; б); в).

Сложная функция

Пусть функция есть функция от переменной, определенная на множествес областью значений, а переменнаяв свою очередь является функциейот переменнойна множествес областью значений. Тогда заданная на множествефункцияназываетсясложной функций (или композицией функций, или функцией от функции).

Пример 2.10. Найти ,,,, если:

а) ,; б),.

Решение.

а) ;;

; .

б) ;;

; .

Пример 2.11. Дана функция . Найти:

а) ; б); в); г); д); е).

Решение. Учитывая определение сложной функции и подставляя указанные аргументы, получаем:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

Пример 2.12. Дана функция .

Найти: ;;;.

Решение. Выбирая в соответствии значению аргумента формулу задания функции, имеем

; ;

; .

Понятие элементарной функции

Определение 2.16. Функции, простроенные из основных элементарных функцией с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция

является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции конечно. А примерами неэлементарных функций могут служить функции и.

Классификация функций

Элементарные функции подразделяются на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Определение 2.17. Функция называется алгебраической, если над ее аргументом проводится конечное число алгебраических действий.

Можно выделить следующие классы алгебраических функций.

1. Целая рациональная функция (многочлен или полином):

.

2. Дробно-рациональная функция – отношение двух рациональных функций.

3. Иррациональная функция – в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К трансцендентным относятся показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.