обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим
t
dI
t
psdt ,
I
0
0
или ln I t
t
pst
t
, откуда ln I
ln I 0 pst .
0
0
Потенцируя последнее равенство, получим окончательное
выражение
I t I 0 e
,
(6.19)
pst
где
I 0 - это скорость денежного потока в начальный момент времени.
Таким образом, чтобы поддержать равновесие между объемом производственных благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью, согласно формуле (6.19).
Модель Домара – эти типичный пример модели роста, записываемый в виде одного или нескольких уравнений, в которые входят производные неизвестных величин. Такие уравнения называются дифференциальными, они будут рассмотрены далее. Существенным компонентом решения таких уравнений является интегрирование.
Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 6.4. Дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С=С(q), предельные издержки будут задаваться производной функции MC C q . Ее экономический смысл – это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.
Дана функция предельных издержек MC 3q
2
48q 202
,
1 q 20 .
Найти функцию издержек C C q и вычислить
издержки
в случае
производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 50 руб.
181
t 1,2,3,...
Функцию издержек находим интегрированием
C q
q MCdq
1
C
0
,
где константа
C0
находится из данного условия
C 1 50
, так что
C0
50
,
поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, получим функцию
издержек
C q q
3
25q
2
202q 50 .
Подставляя
q 10
в полученную формулу, находим искомое значение
C 10 670 .
Пример 6.5. Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока. Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени задана величина денежного потока R t . Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R 1 , R 2 , R 3 ,... мы найдем по формулам
R 1 , 1 p
, R 2 1 p
, R 3 1 p
1
2
3
Тогда дисконтированную стоимость денежного
суммируя эти величины:
n
,
R t 1 p
t
t 1
,...
потока мы найдем,
(6.20)
где n – общее число периодов времени.
В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 t T , где 0,T – рассматриваемый период времени, заданная величина I t – скорость изменения денежного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t+dt
приближенно равна
I t dt ). Для нахождения величины
изменим
формулу (6.20): знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы нахождения дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула (6.20) примет вид
T
I t e
pt
dt
0
.
Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный
денежный поток со скоростью
I t t
2
20t 5
(млрд руб./г.) в течение 20
лет с годовой процентной ставной
p 5% .
Найти дисконтированную
стоимости этого потока.
182
По формуле (6.20) имеем
20
t
20t
2
0
5 e
0,05t
dt
.
Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной s 0,05t , t 20s , dt 20ds .
При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых в формулу замены s0 0 , s1 1. Получим
20
400s
400s 5 e
0
400s
20
ds 20
2
s
2
0
1
400s
5 e
s
ds
.
К последнему частям, полагая
u
интегралу применим
400s
2
400s 5
,
du
формулу интегрирования
800s 400 ds ,
s
ds ,
v
dv e
по
e
s
.
Поэтому
400s
2
20
400s 5 e
s0
1
0
800s
e
s
1
400ds
.
В первом слагаемом подставим пределы
слагаемому еще раз применим формулу
полагая u 800s 400
, du 800ds .
400s 5 e
0
400s
2
s
20
1
20 5 5e
1
400 800 400 e
1
20 1195e
1
395 .
интегрирования, а к второму интегрирования по частям,
0
s
ds
800e
1
800 800e
1
Окончательно получим
Замечание. Указанный методами.
892 млрд руб.
интеграл можно также решить численными
Пример 6.6
Рассмотрим ситуацию, когда денежный поток не прекращается никогда, например, в случае эксплуатации земельного участка. Если r – непрерывная процентная ставка, а R(t) – соответствующая рента, то нахождение дисконтированной стоимости земельного участка приводит к формуле, включающей несобственный интеграл
R t e rt dt .
(6.21)
0
Пусть R t 5e 0,7t (млн руб./г.) – рента, получаемая от
земельного
участка, r = 10% процентная ставка. Определим его дисконтированную стоимость по формуле (6.21):
183
0,8t
5e
0,7t
e
0,1t
dt 5 e
0,8t
e
dt 5
0,8
0
0
0
5
6,25
0,8
(млн руб.).
Пример 6.7
Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 ч. если производительность труда в течение дня меняется по
эмпирической формуле
p f (t) 0,2t
2
1,6t 3
, где t время, ч.
Решение. Полагая,
что производительность меняется в течение дня
непрерывно, т.е. что p является непрерывной функцией аргумента t на отрезке 0, 8 , дневную выработку P можно выразить определенным
интегралом:
8
p 0,2t
2
0
1,6t
3 dt
.
Вычислим точное значение интеграла
8
0,2t
1,6t 3 dt ( 0,2
t
3
t
2
8
8
3
8
2
I точн
2
1,6
3t)
( 0,2
1,6
3
8)
0
3
2
0
3
2
0
3
0
2
102,4
( 0,2
1,6
3
0)
51,2 24
41,0(6).
3
2
3
Обозначим подынтегральную функцию за f (t) 0,2t начало промежутка, b=8 – конец промежутка, h – шаг.
Составим таблицу значений функции f(t) при числе
2
1,6t 3
, a=0 –
разбиений n=8.
Вычислим шаг
h
b a
n
8 0
8
1
.
Таблица 6.6
Результаты расчетов
i
t
f(t)
Расчет:
0
0
3
f (0) 0,2 0
2
1,6 0 3 3
1
1
4,4
f (1) 0,2 1
1,6 1 3 4,4
2
2
2
5,4
f (2) 0,2 2
2
1,6 2 3 5,4
3
3
6
f (3) 0,2 3
2
1,6 3 3 6
4
4
6,2
f (4) 0,2 42
1,6 4 3 6,2
5
5
6
f (5) 0,2 52
1,6 5 3 6
6
6
5,4
f (6) 0,2 6
2
1,6 6 3 5,4
7
7
4,4
f (7) 0,2 72
1,6 7 3 4,4
8
8
3
f (8) 0,2 8
2
1,6 8 3 3
184
Метод правых прямоугольников. Ручной счет
I правых
nh
i 1
f (t
i
)
1 4,4 5,4 6 6,2 6 5,4 4,4 3
40,8
.
Ошибка: Qправых I точн I правых 40,8 41,067 0,267 .
Метод левых прямоугольников. Ручной счет
n 1
I левых h f (ti ) 1 3 4,4 5,4 6 6,2 6 5,4 4,4 40,8 .
i 0
Ошибка: Q левых I точн I левых 40,8 41,067 0,267 .
Метод трапеций. Ручной счет
f (a) f (b)
n 1
I трап h
2
i 1
3 3
40,8 .
f (ti
)
1
4,4 5,4 6 6,2 6 5,4 4,4
2
Ошибка:
Q трап
I точн I трап
40,8 41,067
0,267
.
Метод Симпсона. Ручной счет
по нечетным точкам:
S1 4,4 6 6 4,4 20,8
, а по
четным точкам:
S2 5,4 6,2 5,4 17 .
I Симпсона
1
3
3 4 20,8
2 17
3
41,067
.
Ошибка: QСимпсона I точн I Симпсона 41,067 41,067 0 .
Метод центральных прямоугольников. Ручной счет
Таблица 6.7
Расчеты для метода центральных прямоугольников
i
t
t+h/2
f(t+h/2)
Расчет
0
0
0,5
3,75
f (0,5) 0,2 0,5
2
1,6 0,5 3 3,75
1
1
1,5
4,95
f (1,5) 0,2 1,5
2
1,6 1,5 3 4,95
2
2
2,5
5,75
f (2,5) 0,2 2,5
2
1,6 2,5 3 5,75
3
3
3,5
6,15
f (3,5) 0,2 3,5
2
1,6 3,5 3 6,15
4
4
4,5
6,15
f (4,5) 0,2 4,5
2
1,6 4,5 3 6,15
5
5
5,5
5,75
f (5,5) 0,2 5,52
1,6 5,5 3 5,75
6
6
6,5
4,95
f (6,5) 0,2 6,5
2
1,6 6,5 3 4,95
7
7
7,5
3,75
f (7,5) 0,2 7,5
2
1,6 7,5 3 3,75
8
8
-
-
-
I центр
n 1
h f (ti
i 0
1 3,75 4,95 5,75 6,15 6,15 5,75 4,95 3,75
h / 2)
41,2
.
Ошибка: Qцентр I точн I центр 41,2 41,067 0,133.
Решение в Microsoft Excel представлено на рис. 6.7.
185
Рис. 6.7. Реализация в Microsoft Excel
Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Формулы в Microsoft Excel
186
Решение в редакторе Visual Basic без точности представлено на рис. 6.9.
Рис. 6.9. Решение в редакторе Visual Basic
Код программы в Visual Basic:
Function F(ByVal t As Double)
F = -0.2 * t ^ 2 + 1.6 * t + 3
End Function
Private Sub CommandButton1_Click() A = ActiveSheet.Cells(2, 2).Value
B = ActiveSheet.Cells(3, 2).Value
n = ActiveSheet.Cells(2, 4).Value h = (B - A) / n
IntLP = 0 For i = 1 To n
IntLP = IntLP + F(A + (i - 1) * h) * h Next i
ActiveSheet.Cells(7, 1).Value = "По методу левых прямоугольников = " &
Str(IntLP) IntPP = 0
For i = 1 To n
IntPP = IntPP + F(A + i * h) * h Next i
ActiveSheet.Cells(8, 1).Value = "По методу правых прямоугольников = " &
Str(IntPP) IntCP = 0
For i = 1 To n
IntCP = IntCP + F(A + (i - 0.5) * h) * h Next i
ActiveSheet.Cells(9, 1).Value = "По методу центральных прямоугольников = " &
Str(IntCP) IntTR = 0
187
For i = 1 To n - 1
IntTR = IntTR + F(A + i * h) * h Next i
IntTR = IntTR + (F(A) + F(B)) / 2 * h
ActiveSheet.Cells(10, 1).Value = "По методу трапеций = " & Str(IntTR)
