Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

4.9. Вычисление лагранжевых коэффициентов

что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки x = at+b (а, b постоянны и а ≠ 0). Действительно, положив в формуле (4.36)

Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема, особенно удобная при применении счетной машины. Сначала располагаем в таблицу разности следующим образом:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn- x0 xn- x1 xn- x2 ... x- xn.

111

Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй - через D1 и т. д. Произведение же элементов главной диагонали (в схеме эти элементы подчеркнуты), очевидно, будет Пп+1(х). Отсюда следует, что

В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду. В самом деле, полагая x=x0 + th,

будем иметь t0=0, t1= 1,..., tn=n.

Подставив эти выражения в формулу (4.38'), получим

Отсюда

Задача интерполирования в случае постоянного шага h облегчается еще тем, что имеются таблицы для лагранжевых коэффициентов, так что фактически все вычисления сводятся к умножению табличных коэффициентов на соответствующие значения функции yi и к суммированию.

4.10. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Для функции y = f(x) мы построили интерполяционный полином Лагранжа Ln(x), принимающий в точках x0, x1 , ... ,хп заданные значения:

y0=f(x0), y1=f(x1) , ... , yn=f(xn).

Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции f(x) в других точках, то есть, как велик остаточный член

Rn= f(x) - Ln(x).

Для определения этой степени приближения наложим на функцию у=f(x) дополнительные ограничения. Мы будем предполагать, что в

112

рассматриваемой области а≤х≤b изменения х, содержащей интерполирования, функция f(x) имеет все производные

,f(n+1)(x) до (n+1)-гo порядка включительно. Введем вспомогательную функцию

который будет выбран далее.

Функция и(х), очевидно, имеет п+1 корень в точках x0,

Подберем теперь коэффициент k так, чтобы и(х) имела (n+2)-й корень в

При этом значении множителя k функция и(х) имеет п+2 корня на отрезке [а, b] и будет обращаться в нуль на концах каждого из отрезков:

Применяя теорему Ролля к каждому из этих отрезков, убеждаемся, что производная и'(х) имеет не менее п +1 корня на отрезке [а, b]. Применив теорему Ролля к производной и'(х), мы убедимся, что вторая производная и"(х) обращается в нуль не менее п раз на отрезке [а, b]. Продолжая эти рассуждения, придем к заключению, что на рассматриваемом отрезке [а,b] производная и(п+1)(х) имеет хотя бы один корень, который обозначим через ξ, т. е. и(п+1)(ξ)=0.

Из формулы (4.43), так как Ln(п+1)(x)=0 и Пn+1(п+1)(x)= (n+1)! имеем:

и(п+1)(х)= f(п+1) (х) - k(n+1)!. При х = ξ получаем: 0 =f(п+1) (ξ) - k(n+1)!.

Отсюда

Сравнивая правые части формул (4.44) и (4.45), будем иметь

где ξ зависит от х и лежит внутри отрезка [а,b].

Отметим, что формула (4.47) справедлива для всех точек отрезка [а,b], в том числе и для узлов интерполирования.

для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа:

4.11. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона

где ξ некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования х0 , х1, ... , хn и рассматриваемой точкой х. Заметим, что

остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона

где ξ некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования х0 , х1, ... , хn и точкой х.

Обычно при практических вычислениях интерполяционная формула Ньютона обрывается на членах, содержащих такие разности,

114

которые в пределах заданной точности можно считать постоянными. Предполагая, что ∆n+у почти постоянны для функции у = f(x) и h достаточно мало, и учитывая, что

f n 1 (x) lim n 1 y ,

h 0 hn 1

В этом случае остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона приближенно равен

В этих же условиях для остаточного члена второй интерполяционной формулы Ньютона получаем выражение

4.12. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование

Иногда интерполирование по всей совокупности точек бывает недостаточным. В этих случаях можно воспользоваться объединением фрагментов графиков полиномов низкой степени и интерполированием между последовательными узлами. Самый простой в использовании полином первой степени. Он создает ломаную, состоящую из отрезков, которые проходят через две точки. Чтобы представить эту кусочнолинейную кривую, используется полином Лагранжа

где Sk (x) – линейный сплайн на отрезке [xk+1, xk]; yk – заданное значение функции, полученное экспериментально в заданных узлах.

Аналогично можно построить кусочно-квадратичный полином. Недостатком этого подхода является резкое изменение кривизны в

общих узлах.

115

4.13. Простейший подход к сглаживанию

Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций Si (х) ai bi x xi ,

чтобы f x Si x для всех х в смысле минимума квадрата отклонений, т.е.

функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

4.14. Кусочно–кубические сплайны

Определение. Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов Sk(x) с коэффициентами sk,0, sk,1, sk,2,

k 0, N 1, т.е. кубический сплайн состоит из кубических полиномов.

2.Кусочно-кубическое интерполирование задается совокупностью точек,

3. Кусочно-кубическое представление состояло из кривых, которые являются гладкими непрерывными функциями. Вторая и первая производные должны быть непрерывны:

чтобы S3 xi yi , а первая и вторая производные были непрерывными.

116

A – вектор неизвестных коэффициентов: Y – вектор-столбец свободных членов:

интерполяционные многочлены: первой степени, второй степени, четвертой степени. Построить аппроксимирующие многочлены: первой, второй степени.

Построение кусочно-линейной интерполяционной функции. Метод неопределенных коэффициентов. Ручной счет

120