Вариационный метод

Если возмущение сильное и не выполняется условие применимости теории возмущений

,

то аналитическое решение можно получить вариационным методом, который разработал Ритц в 1909 г. Метод использует функционал энергии в виде среднего от гамильтониана по состоянию системы. Физическое состояние соответствует минимуму функционала. Для получения функционала (функции от функции) задается пробное состояние с набором параметров. Минимум функционала при вариации параметров дает эти параметры, состояние и энергию системы. Метод не позволяет оценить погрешность результата.

Вальтер Ритц (1878–1909)

Функционал энергии. Стационарная система находится в состоянии  с условием нормировке . Среднее от гамильтониана

, (6.48)

рассматриваем как функцию с аргументом . Докажем, что физическое состояние ψ соответствует минимуму функционала.

Основное состояние. Используем собственные функции гамильтониана с дискретным спектром

,

.

Искомое состояние  разлагаем по базису собственных функций

.

Нормировка

требует

.

Средняя энергия в состоянии  не может быть меньше энергии основного состояния

,

тогда

. (6.49)

Следовательно, в пространстве нормированных функций  абсолютный минимум функционала энергии равен энергии основного состояния Е₀. Функция , обеспечивающая этот минимум, является функцией основного состояния.

Возбужденное состояние  ортогонально основному состоянию ₀, тогда в разложении

отсутствует слагаемое с . Аналогично предыдущему получаем

.

В подпространстве нормированных функций , ортогональных ₀, абсолютный минимум функционала энергии равен энергии первого возбужденного состояния Е₁. Функция , обеспечивающая минимум, является функцией этого состояния.

Аналогично находятся энергии и волновые функции вышерасположенных уровней. Рассмотрим практический метод нахождения экстремума.

Вариационный метод Ритца. Для стационарной одномерной системы используем волновую функцию

с параметрами  и А. Условие нормировки связывает . Вариация функции сводится к вариации параметра. Для функционала энергии (6.48)

условие экстремума

(6.50)

дает величину .

Алгоритм применения метода:

1. Выбираем пробную квадратично интегрируемую функцию основного состояния

с параметрами α и A, исходя из граничных условий, симметрии, особенностей системы и ее состояния.

2. Нормировка

дает .

3. Используя гамильтониан системы, вычисляем функционал

.

4. Условие экстремума

дает ₀ и волновую функцию основного состояния

.

Подставляем ₀ в функционал и находим энергию

,

ограничивающую сверху энергию основного состояния.

5. Для первого возбужденного состояния выбираем пробную функцию

с параметрами β и B, удовлетворяющую условию нормировки и условию ортогональности основному состоянию:

,

,

и находим .

6. Вычисляем функционал энергии с искомой функцией

.

Из условия экстремума

(6.51)

получаем ₁, волновую функцию и энергию

,

,

ограничивающую сверху энергию первого возбужденного состояния. Аналогично определяются остальные состояния.

Рассмотрим примеры применения метода.