Возмущение стационарных вырожденных состояний

Для вырожденных состояний энергии уровней n и k одинаковые , рассмотренная теория не применима из-за обращения в нуль знаменателя в (6.13)

,

в (6.15) и (6.16)

,

.

Ограничимся рассмотрением первого порядка теории возмущений для двукратно вырожденного состояния.

Двукратное вырождение. Невозмущенные вырожденные состояния иортонормированны

, . (6.18)

Они имеют одинаковую энергию и удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера

,

.

Уравнению удовлетворяет также суперпозиция

,

где α и β постоянные. Нормировка требует

.

Рассматриваем две суперпозиции

, , (6.19)

отличающиеся коэффициентами ,. Возмущение действует на суперпозициюиначе, чем на. Состоянияиполучают разные энергии и вырождение снимается. В общем случае система переходит в состояние с неопределенной энергией.Найдем коэффициенты и из условия, что возмущение в первом порядке сохраняет определенность энергии, лишь сдвигая уровни энергии и не перемешивая и.

Если возмущение обладает определенной симметрией, то искомые состояния с определенными энергиями имеют ту же симметрию.

Возмущенные состояния. Повторяем рассуждения предыдущего раздела применительно к состояниям . Используем (6.4) и (6.7)

,

.

Возмущение не перемешивает и, если

, .

Из уравнения для первого порядка (6.9)

получаем

, . (6.23)

Подстановка (6.19)

дает

. (6.24)

Искомые величины:

, , .

Проектируем уравнение (6.24) на орт , умножая (6.24) слева на и интегрируя по объему.Аналогично проектируем (6.24) на орт . Учитываем ортонормированность (6.18)

,

получаем однородную систему уравнений

,

, (6.25)

где

– матричный элемент возмущения между состояниями и .

Поправку к энергии (6.4)

получим из условия разрешимости системы алгебраических уравнений (6.25)

.

Учитываем

,

,

находим

(6.26а)

и энергии состояний

,

. (6.26б)

Энергия соответствует состоянию

,

энергия соответствует состоянию

.

Подставляем полученное решение для энергии в первое уравнение системы (6.25)

,

находим

,

. (6.27)

С учетом нормировки

,

,

получаем две пары уравнений и находим коэффициенты ,и,для состояний (6.19)

, ,

которые не перемешиваются возмущением. Эти состояния получают сдвиг энергии (6.26б).

Симметричное возмущение по отношению к иозначает симметрию матричных элементовв виде

,

.

Из (6.26а)

получаем поправки к энергии

.

Из (6.27)

,

находим

, .

С учетом нормировки

,

получаем коэффициенты разложения

,

.

Тогда (6.19)

дает возмущенные состояния с определенными энергиями

,

. (6.28)

Из (6.26б)

,

,

находим энергии состояний

,

,

. (6.29)

Возмущение отодвигает уровни друг от друга пропорционально энергии возмущения .

Пример симметричного возмущения. Заряженный плоский ротатор является электрическим диполем. Заряды расположены на расстоянииL и образуют дипольный момент величиной . Внешнее однородное электрическое полеE расположено в плоскости ротатора и создает потенциальную энергию

,

где α – угол между полем и дипольным моментом ротатора. Использовано

, .

Для плоского ротатора без поля ранее получены уровни энергии и состояния

, ,

.

При вырождены состояния, отличающиеся знаком магнитного числа:

,

.

Для возмущения

вычисляем матричные элементы

,

,

где использовано

,

.

Следовательно, возмущение симметричное, то есть одинаково действует на состояния и. Из (6.26)

,

,

для рассматриваемой системы получаем, что в первом порядке теории возмущений энергии состояний не изменяются.

Суперпозиции состояний, которые не перемешиваются возмущением, находим из (6.28)

,

.

Получаем

,

.

Физический смысл результата. Возмущение четное

,

поэтому оно сохраняет состояния с определенной четностью: и. Состояния с неопределенной четностью перемешиваются.