Приближенные методы

Точное аналитическое решение уравнения Шредингера удается получить для ограниченного числа одно- и двухчастичных систем. Для других случаев используются приближенные аналитические методы – теория возмущений и вариационный метод, которые позволяют найти уровни энергии и состояния системы.

Возмущением называется малое слагаемое потенциальной энергии системы, дополнительное к исходному гамильтониану, для которого существует аналитическое решение.

Теория возмущений стационарных невырожденных состояний

Возмущение входит слагаемым в потенциальную энергию стационарной системы

,

где – невозмущенная потенциальная энергия;– малый безразмерный параметр. Гамильтониан системы

содержит невозмущенную часть

.

Для невозмущенного уравнения Шредингера с дискретным невырожденным спектром

(6.1)

предполагаются известными невозмущенные волновые функции и уровни энергии, где Невозмущенные состояния образуют базис с условием ортонормированности

. (6.2)

Возмущенные состояния удовлетворяют уравнению Шредингера

. (6.3)

Требуется найти

, .

Разложение по степеням . Искомые величины разлагаем в ряды по степеням малой безразмерной величины ε и, пользуясь малостью , ограничиваемся первыми тремя слагаемыми

,

. (6.4)

Степень  называется порядком теории возмущений. Подставляем разложения (6.4) в уравнение (6.3)

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε и получаем для нулевого порядка уравнение (6.1), для первого и второго порядков:

, (6.5)

. (6.6)

Искомыми являются

,,,.

Разложение по невозмущенным состояниям. Искомые функции разлагаем по ортонормированному базису невозмущенных состояний

, (6.7)

, (6.8)

где знак «'» означает отсутствие в сумме слагаемого , которое учтено в нулевом порядке. Искомые величины:

, ,,,

Первый порядок теории возмущений. В уравнение (6.5)

подставляем разложение (6.7)

.

Учитываем (6.1)

,

тогда

.

В результате

. (6.9)

Искомые величины:

, ,

Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем слагаемые (6.9) на орт . Проектирование в гильбертовом пространстве означает умножение (6.9) слева на, интегрирование по объему и учет ортонормированности базиса

.

Поскольку в суммах отсутствует слагаемое, то в результате получаем

,

. (6.10)

Поправка первого порядка к энергии определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, то есть равна среднему значению возмущения по невозмущенному состоянию.

Аналогично проектируем (6.9)

на орт , где, и получаем

.

Обозначаем , определяем матричный элемент оператора возмущения

, (6.11)

и находим коэффициент разложения

. (6.12)

Отсутствие вырождения обеспечивает конечность. Из (6.4), (6.7)

,

,

и (6.12) получаем в первом порядке теории возмущений волновую функцию возмущенного состояния

. (6.13)

Требование малости поправки к невозмущенной функции дает условие применимости (6.10) и (6.13)

. (6.13а)

Свойства первого порядка теории возмущений:

1. Выражение (6.13) не содержит слагаемых с , поэтому возмущенные состояния нормированы

.

2. Диагональный матричный элемент возмущения дает поправку к энергии

и не дает вклада в волновую функцию.

3. Недиагональные матричные элементы не дают вклада в энергию, но определяют поправку к волновой функции.

4. Чем ближе друг к другу уровни невозмущенной системы, тем сильнее изменяется волновая функция.

Второй порядок теории возмущений. Подставляем (6.7) и (6.8)

,

в уравнение второго порядка (6.6)

.

Учитываем (6.1)

и получаем

. (6.14)

Искомые величины:

, ,

Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем уравнение (6.14) на орт , т. е. умножаем (6.14) на, интегрируем по объему и используем ортонормированность базиса

.

С учетом (6.11)

получаем

– поправка к энергии во втором порядке. Используем (6.12)

и

,

где учтено

,

и использована эрмитовость оператора возмущения . Находим

.

В результате энергия возмущенного состояния с точностью до второго порядка

, (6.15)

где

.

Аналогично проектируем уравнение (6.14)

на орт , где, находим

.

Обозначая и учитывая выражения (6.10) и (6.12) для и, получаем

. (6.16)

Свойства второго порядка теории возмущений:

1. Из (6.15)

для основного состояния поправка

.

С учетом получаем.Поправка второго порядка к основному состоянию понижает его энергию.

2. Для двухуровневой системы с учетом из (6.15)

получаем возмущенные уровни

,

. (6.17)

Энергия верхнего уровня увеличивается во втором порядке, энергия нижнего уровня уменьшается. Следовательно, возмущение во втором порядке раздвигает уровни энергии системы.

3. Чем ближе уровни энергии, тем сильнее реагирует система на возмущение.

ПРИМЕР

На линейный гармонический осциллятор действует ангармоническое возмущение

.

Для основного состояния найти волновую функцию в первом порядке теории возмущений и энергию в двух порядках.

Используем (6.11), (6.13), (6.15) и (3.39)

,

,

, ,

.

Матричные элементы , где, вычисляем при помощи рекуррентного соотношения (3.34)

,

где . Находим

.

Используем ортонормированность (3.33)

,

получаем

,

.

В результате

,

.

Поправка второго порядка понижает уровень основного состояния.