Пример 2

Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с абсолютно непроницаемыми стенками. Получимдопустимые значения энергии и импульса частицы.

Классическая частица может иметь любую энергию в ящике с непроницаемыми стенками. Энергия квантовой частицы имеет дискретный спектр, зависящий от размеров потенциальной ямы.

Частица с полной энергией внутри ямы приимеет импульс

.

Из условия квантования (1.17) для одномерного движения получаем

.

С учетом перемещения вправо и влево, находим

, ,

,

. (П.1.3)

Чем уже яма и меньше масса частицы, тем больше интервал между соседними уровнями энергии.

Для основного состояния с минимальной энергией из (П.1.3) получаем

, . (П.1.4)

Для электрона при L = 1 мм

.

Тепловая энергия kT такой величины соответствует температуре . Следовательно, для частицы в макроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения несущественно при достаточно высокой температуре.

Для микрообъема L = 1 нм получаем , что превышает тепловую энергиюпри нормальной температуре. Следовательно,для частицы в микроскопическом объеме квантование энергии поступательного движения существенно при любой температуре. В результате микро- и наносистемы квантуются и требуют квантовомеханического описания.

Условия применимости классической физики

Учитываем, что в квантовой теории:

1. Частица в ограниченном пространстве имеет дискретный спектр энергии;

2. Состояние частицы характеризуется длиной волны де Бройля;

3. При одномерном движении частица занимает в фазовом пространстве объем, не меньший h.

Следовательно, классическая физика применима, если можно пренебречь:

1) Дискретностью спектра энергии по сравнению с тепловой энергией;

2) Длиной волны де Бройля по сравнению с расстоянием между частицами;

3) Объемом h по сравнению с фазовым объемом, занимаемым частицей.

При нарушении этих условий необходимо использовать квантовую теорию. Если у частицы существует понятие траектории, то применима полуклассическая теория. Если длина волны де Бройля сравнима с размерами области, доступной для частицы, то понятия траектории не существует и используется квантовая механика.