Квантование Бора–Зоммерфельда
При распространении микрочастицы по траектории условие максимума интерференции (1.3)
обеспечивает
наибольшую амплитуду волны и наибольшую
вероятность обнаружения частицы,
движущейся между начальной и конечной
точками двумя путями, отличающимися по
длине на 
.
Рассмотрим
движение частицы с постоянным модулем
импульса p
по замкнутой траектории длиной 
.Частица выходит
из некоторой точки траектории и приходит
в другую точку двумя путями. Один путь
является кратчайшим, на втором пути
частица делает лишний полный оборот по
траектории, что превышает первый путь
на длину траектории 
.
Используя (1.13)
,
получаем условие обнаружения частицы на траектории
.
Нарушение этого условия приводит к резкому уменьшению амплитуды волны и вероятности обнаружения частицы.
Обобщаем
результат на случай, когда импульс
изменяется вдоль траектории с элементом
,
и получаемформулу
квантования Бора–Зоммерфельда
,
(1.17)
где
–квантовое
число, или
номер
траектории,
показывает число раз, которое длина
волны де Бройля укладывается на протяжении
траектории;
–объем
фазового пространства
одномерного движения, занятогоn
состояниями. Следовательно, каждое
квантовое состояние одномерного движения
занимает в фазовом пространстве объем,
равный h.
Формула (1.17) применима в квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом и (1.17) и (1.13)
,
получаем условия применимости (1.17)
,
,
.
(1.18)
Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.
Пример 1
Частица
движется по окружности радиусом
c
постоянным модулем импульса
.
Из условия максимума интерференции
волны де Бройля (1.17)
,
для траектории m получаем
,
.
Учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется
.
В результате проекция орбитального момента квантуется
,
(1.19)
где
ось z
перпендикулярна плоскости траектории;
;
–магнитное
квантовое число.
На рис. 4, а
показана волна де Бройля электрона,
движущегося по круговой траектории в
ридберговском
атоме водорода,
то есть в атоме, находящемся в
высоковозбужденном состоянии
.
Плотность электронного заряда распределена
равномерно по траектории, электрический
дипольный момент атома равен нулю.
а б
Рис.
4. Волна
де Бройля электрона в атоме: а
– состояние
,
б
– суперпозиция
состояний
и
Под
действием микроволнового импульса
электрон преобразуется в суперпозицию
состояний с близкими значениями
квантового числа:
и
.
Возникают биения, показанные на рис. 4,б.
Максимум и минимум волны вращаются
вокруг ядра, у атома появляется
электрический дипольный момент,
вращающийся с частотой
(С. Арош. Управление фотонами в ящике и
изучение границы между квантовым и
классическим // Успехи физ. наук184,
1068 (2014)).