Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Квант.мех. СГФ / Квант. мех

..pdf

Скачиваний:

241

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

13.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Примеры 2

Замена m k во втором уравнении и сложение его с первым дает

i ck cm		cm ck		Hmn ck cn			cm cn Hnk .
				n
С учетом (2.77) или (2.79) получаем уравнение фон Неймана
i	d	mk		(Hmn	nk	mn Hnk ) ,		(2.83)
i		dt		(Hmn	nk	mn Hnk ) ,		(2.83)
		dt		n
				n
или в матричном виде
		i	d	H	H	[H ,	] .	(2.84)
		i	dt	H	H	[H ,	] .	(2.84)
			dt

Дополнительный анализ показывает, что (2.84) применимо и для смешанного состояния.

ПРИМЕРЫ 2

2.1. Найти нормировочные постоянные собственных функций операторов координаты и импульса.

Для собственной функции x1 (x) c (x x1) оператора координаты с непрерывным спектром используем условие ортонормированности (2.22)

(x)

(x) dx c2

x x

(x x ) dx

и получаем c 1. Тогда собственная функция оператора координаты

x1 (x)

(П.2.1)

для трехмерного пространства

r1 (r)

r1 .

(П.2.2)

Для собственной функции

p (x)

c exp

оператора импульса ис-

пользуем

(x)

(x) dx c2

exp

( p

p ) x

p .

64 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Учитывая

exp ( p2 p1)x dx 2 ( p2 p1) ,

находим c 1 / 2 . Тогда собственная функция оператора проекции импульса

p (x)	1	exp	i	px .	(П.2.3)

	2

Для трехмерного пространства

p (r)

exp

p r .

(П.2.4)

h3/2

2.2. Найти собственные функции и собственные значения оператора про-

екции момента импульса Lz

i d

. Получить оператор поворота и генератор

вращения.

Уравнение (2.8) получает вид

. Разделяя переменные, находим

состояние с проекцией момента импульса lz

L (

)

c exp

lz .

Периодичность по

углу требует

(

2 )

( ) .

Учитывая

ei2

m 1, при

m = 0, ±1, ±2,…, получаем

2 m , тогда собственные значения

m .

(П.2.5)

Из условия ортонормированности (2.21)

m ( )

m ( ) d

m,m

с учетом

ei(m m) d

m,m

находим c

1 /

(

)

eim .

(П.2.6)

Примеры 2

Поворот системы вокруг оси Oz на угол α изменяет волновую функцию

( )

(

) .

разлагаем в ряд Тейлора

Для получения T

(

)

(

)

2 d

...

1! d

2! d

...

(

)

exp

( ) ,

тогда оператор и генератор поворота

exp

Lz .

Генератором поворота является оператор момента импульса.

2.3. Найти собственные значения

собственные

функции оператора

d 2

2 d

в сферических координатах с 0

и краевым условием

dr2

r dr

(r0 ) 0 .

Уравнение (2.8) имеет вид

d 2

2 d

0 .

dr2

Замена

(r)

u(r)

дает уравнение Гельмгольца u

0 . Общее решение

u(r) A cos

a r

B sin

a r

(r)

cos

a r

sin

a r

При r

0 функция конечная, если

0 . Из (r0 )

0 получаем r0 a

n ,

где n = 1, 2,…, откуда находим собственные значения

( n / r )2 .

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Собственную функцию

n (r)

sin

подставляем в условие орто-

нормированности (2.21), где dV

r2dr , и получаем

r0 sin

sin

m,n .

Используя sin nx sin mx dx

m,n , находим B

r0 ,

n (r)

sin

n .

2 r0

2.4. Доказать эрмитовость

pˆ x

pˆ x .

Вычисляем левую сторону (2.14) с оператором pˆ x

и получаем

i dx

i x

Правая сторона (2.14) равна

2 dx

2 ,

i x

i dx

тогда

1 2

Волновые функции квадратично интегрируемы и равны нулю на бесконечности, поэтому I1 I2 0 , и оператор импульса эрмитов.

Примеры 2

2.5. Проверить эрмитовость

в сферических координатах.

i dr

Вычисляем

левую

правую

стороны

(2.14)

элементом объема

dV r2dr d

и получаем

dr ,

0 dr

I I

d 2

Интегрируем по частям и учитываем, что свободное слагаемое равно нулю на обоих пределах, тогда

I I	2	2	d	1	2	r dr 0 .
1	2	i		1	2
		i		0
				0

Следовательно, рассматриваемый оператор не эрмитов.

2.6. Доказать эрмитовость

pˆr

в сферических координатах.

Аналогично примеру 2.5 находим левую и правую стороны (2.14):

dr ,

d 1

dr ,

d (

2 )

dr .

Выражение в скобках равно

, тогда

0 ,

где учтена квадратичная интегрируемость волновых функций. Следовательно, рассматриваемый оператор эрмитов.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

2.7. Доказать

ˆ ˆ

(П.2.7)

B A .

дает

Определение эрмитова сопряжения (2.11) для (AB)

ˆ ˆ

2 dV .

1 AB

аналогично получаем

Для A

и затем B

2 dV .

1 ( AB 2 ) dV ( A

1) (B

2 ) dV (B A

Сравнение результатов дает (П.2.7).

2.8. Доказать, что если

B эрмитовы и

A, B

i C , то C – эрмитов.

Преобразуем левую и правую стороны исходного соотношения, используя

(П.2.7) и эрмитовость A и

B , тогда

ˆ ˆ

A, B

AB BA

BA AB i C ,

i C

(i) C .

Из условия (2.11) находим (i)

i . Сравнивая конечные результаты, получа-

ем C

C . Отсюда и из примера 2.7 следует, что при эрмитовом сопряже-

нии изменяется порядок произведения эрмитовых операторов, и множители получают комплексное сопряжение.

2.9. Доказать

	d	2	d	d 2
x		1 x2 2x			.

	dx		dx	dx2

При преобразованиях оператора учитывается функция с правой стороны оператора, на которую он действует:

x	d	x	d	x2	x	d	d	(x )	d 2	.
x		x		x2	x			(x )		.
	dx		dx			dx	dx		dx2

Примеры 2

2.10. Доказать

ˆ ˆ ˆ

[ AB, C]

ˆ ˆ ˆ

[ A, BC]

ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
A [B, C] [A, C] B ,
ˆ		ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ

[ A, B] C B [ A, C] .

(П.2.8)

(П.2.9)

В определении коммутатора прибавляем и вычитаем одинаковые слагаемые

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

[AB,C]

ABC

CAB

(ABC

ACB)

(ACB

CAB)

A[B,C] [A,C]B ,

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

[A, BC]

ABC

BCA

(ABC

BAC)

(BAC

BCA)

[A, B]C

B[A,C] .

2.11. Доказать, что если [ A, C] коммутирует с A

и C , то

ˆ n

ˆ n 1

ˆ ˆ

(П.2.10)

[ A , C]

n A

[ A, C] ,

ˆ n

]

ˆ n 1

ˆ ˆ

(П.2.11)

[ A, C

n C

[ A, C] .

Полагаем

в (П.2.8) и получаем (П.2.10) при n

2 . Полагая B

C в

(П.2.9), получаем (П.2.11) при n

2 .

Полагаем

ˆ 2

в (П.2.8)

и используем (П.2.10)

при

2 , что дает

в (П.2.9) и используя (П.2.11) при n

2 ,

(П.2.10) при n 3 . Полагая B

получаем (П.2.11) при n

3. Продолжаем процесс по индукции.

Для некоммутирующих операторов выполняется

ˆ n ˆ

n 1 ˆ s

ˆ ˆ ˆ n s 1

(П.2.12)

[ A , C]

[ A, C] A

ˆ ˆ n

]

n 1 ˆ s

ˆ ˆ ˆ n s 1

(П.2.13)

[ A, C

[ A, C] C

f (C) разлагается

2.12. Доказать, что если [ A, B] коммутирует с A

в степенной ряд, то

df (B)

[ A, f (B)]

[ A, B] ,

(П.2.14)

df ( A)

[ f ( A), B]

[ A, B] .

(П.2.15)

70 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Разлагаем в

ряд

Маклорена

d n f (B)

ˆ n

и учитываем

f (B)

n 0 n!

dBn

B 0

ˆ n

]

ˆ n 1

(П.2.11) в виде [ A, B

n B

[ A, B] , тогда

ˆ ˆ

d n 1

df (B)

ˆ n 1

[ A, f (B)] [ A, B]

(n 1)! dBn 1

n 1

B 0

Заменяя n m 1 и суммируя ряд по формуле Маклорена, получаем (П.2.14). Аналогично доказывается (П.2.15).

2.13.

Для любых

ˆ ˆ

доказать тождество Якоби, содержащее цикли-

A, B, C

ческую перестановку A

A :

ˆ ˆ

0 .

(П.2.16)

A, B,C

C, A

A, B

Расписать коммутаторы в явной форме.

2.14.

Доказать

pˆ x ,

f (x)

(П.2.17)

i dx

Подставить pˆ x

в определение коммутатора и учесть функцию, на

i dx

которую действуют операторы.

2.15.

Доказать, что для оператора Лапласа собственные значения i от-

рицательные в состояниях с квадратично интегрируемыми функциями; для

ˆ n

собственные значения bi

0 .

оператора B ( A )

Для одномерного оператора Лапласа уравнение

i умножаем

dx2

слева на

i (x)

и интегрируем по интервалу ( ,

) . Интеграл с левой сторо-

ны

вычисляем

по

частям,

учитываем

i ( )

0 ,

i i dx 0 ,

и получаем

0 .

Примеры 2

Среднее (2.28) для оператора

в состоянии

ˆ n

] dV .

B dV

[( A )

ˆ n

, получаем

Используя эрмитово сопряжение (2.11) и (2.12) ( A )

( A )

ˆ n

0 .

Для собственной функции

оператора

находим среднее

dV 0 ,

i dV bi

B i dV bi

где учтен предыдущий результат, следовательно, bi

0 .

2.16. Для нормированного

состояния

(

)

sin

где

найти вероятности обнаружения проекций момента импульса lz .

Используя собственные функции (П.2.6)

( )

оператора Lz

собственным значением lz

m , из (2.26) получаем искомую вероятность

e im

sin

2 0

Учитывая формулу Эйлера и

e i(n

n,m , находим

m,1 .

m, 1

m,1

m, 1

Вероятность обнаружения

составляет W1

1 / 2 .

Для

получаем

W 1 1 / 2 . Сумма вероятностей равна единице.

72 Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

x )2

2.17. Для гауссова волнового пакета

(x)

c exp

p0 x

найти

(2d )2

1/2 ,

1/2

с, x ,

p ,

x )2

( p

p)2

и плотность вероятности.

Условие нормировки (1.16) дает c2

x )2

exp

1 . Интеграл ра-

2d 2

вен

d , тогда c

2 d 2

1/4 ,

(x)

exp

p0 x

(П.2.18)

d 2 )1/4

(2d )2

Плотность вероятности по координате

x )2

w(x)

(x)

exp

2d 2

является функцией Гаусса. Из (2.25) получаем

x )2

x exp

dx .

2d 2

Заменяя y

x x0 , вычисляем интеграл и находим

x0 .

Аналогично получаем

dx p0 .

2d 2

Учитывая

x )2

x2 exp

2d 2

y2 /(2d

2 )

x02

y2 /(2d 2)

dy d

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции Квант.мех. СГФ

#
11.03.20164.25 Mб2432014_krasnop.pdf
#
11.03.201613.88 Mб241Квант. мех..pdf
#
11.03.20164.98 Mб94Квант.лекция 0.doc
#
11.03.20169.91 Mб137Квант.лекция 1.doc
#
11.03.20161.84 Mб129Квант.лекция 2.doc
#
11.03.20165.14 Mб119Квант.лекция 3.doc
#
11.03.2016452.61 Кб89Квант.лекция 4-1.doc