Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Квант.мех. СГФ / Квант. мех

..pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

13.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

8.1. Операторы спина и спиноры		293
Вероятности обнаружения проекций спина Sz	/ 2 равны
W \| c1 \|2 , W \| c2 \|2 .		(8.18)

Свободный электрон со спином, направленным по оси z, с энергией Е и импульсом р описывается спинором

(r, t)

exp

(p r

Et) .

(8.19)

E,p,

)3/2

Оператор полного момента

вводится, если частица со спином S

совершает орбитальное движение с моментом импульса

L , тогда

ˆ 2

j( j

1) j ,

J L S ,

где j – собственная функция. Можно показать, что векторная сумма дает для

модулей спина, орбитального и полного моментов и для соответствующих квантовых чисел допустимые значения

\| L S \| J L S ,	\| l s \| j l s .
Для электрона получаем
j \| l	1/ 2 \| .

Проекция полного момента на произвольное направление описывается опера-

тором ˆz и квантуется аналогично (4.15)

		ˆ		mj	j,m		,	m j 0, 1,	2,... j .
		Jz j,m	j	mj	j,m	j	,	m j 0, 1,	2,... j .
			j			j
Состояние частицы обозначается символом Рассела–Саундерса
					n 2s			1l j .
В атоме n – главное квантовое число; состояния с l									0, 1, 2, 3,... обозначаются
буквами	s,	p, d, f ,... При		n 3 ,	l		2	разрешенные состояния электрона с
j 3 / 2 и	j	5 / 2 обозначаются 3 2d3/2						и 3 2d5/2 .

294	Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА

Состояние атома как целого описывается символом

2S 1LJ ,

где L и S – полный орбитальный и полный спиновый моменты атома; J – полный момент атома. Такое описание включает также электронную конфигурацию атома, показывающую вверху справа число электронов в каждом из

состояний (n, l), например, для аргона Z 18: 1s2 2s2 2 p6 3s2 3 p6 .

ПРИМЕРЫ 11

11.1. Доказать перестановочные соотношения (8.7). Используя (8.9) и (8.10), получаем

]

x y

y x )

[Sx , Sy

(

0 1 0 1

0 1

1 0

i Sz .

Аналогично доказываются остальные соотношения (8.7).

11.2. Для собственных состояний

построить повы-

оператора Sz

шающий b

и понижающий b операторы и установить их свойства.

Аналогично примеру 2.20 определяем

(П.11.1)

тогда

ˆ ˆ

(П.11.2)

ˆ ˆ

b b

Следовательно,

– оператор числа частиц в состоянии

с проек-

b b

цией спина / 2 ;

ˆ ˆ

– оператор числа частиц в состоянии

с про-

екцией спина

/ 2 . Из (П.11.2) следует

ˆ ˆ

(П.11.3)

{b , b}

b b

I ,

Примеры 11							295
ˆ	– единичный оператор. Оператор проекции спина получает вид
где I	– единичный оператор. Оператор проекции спина получает вид
	ˆ		ˆ	ˆ	ˆ ˆ	) .	(П.11.4)
	S	2	( b	b	b b	) .	(П.11.4)

Для состояний (8.16) уравнениям (П.11.1)–(П.11.4) удовлетворяют операторы в матричном представлении

ˆ	0 1	1							,	ˆ			0 0	1							,
b	0 0		(	x		i y )				b			1 0		(		x		i y )
b		2	(	x		i y )				b				2	(		x		i y )
		2												2
				x				,		y		i (		) ,
				x						y
		1 0			1	( 0		z ) ,						0 0			1	(		z ) ,	(П.11.5)
					1												1
		0 0		2										0 1		2			0
		0 0		2										0 1		2
				{		,	}	0 ,		[	,		]	z ,
		[		,		z ] 2		,		[	,		z ]	2		,
						ˆ					1
						Sz							0 .
						Sz					2		0 .
											2

11.3. В сферической системе координат по-

лучить оператор проекции спина ˆn на направ-

ление вектора n, заданного внешним полем. Найти собственные функции и собственные значения оператора.

Декартовы проекции единичного вектора n, определяемого углами ( , ) сферической системы координат, находим из рис. 8.2:

Рис. 8.2. Проекции вектора

nx	sin cos		,	ny sin sin		, nz	cos .
Используя
ˆ	ˆ		n		(nx x	ny y	nz z )
Sn	n S	2	n	2	(nx x	ny y	nz z )
		2		2

296 Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА

и матрицы Паули, находим оператор проекции спина на направление, за-

данное углами θ и φ:

cos

sin

Sn ( ,

)

sin

cos

(П.11.6)

Для собственной

функции

n (

)

удовлетворяющей

Sn n ,

Sn n

используя (П.11.6), получаем систему уравнений

cos

sin

cos

Условие совместности

cos

sin

e i

sin

cos

дает собственные значения S n

/ 2 , совпадающие с (8.4). Проекция спи-

на на любое направление одинакова и равна

/ 2 .

Функция

с собственным значением S n

/ 2

удовлетворяет уравне-

нию cos

sin

e i

0 , или

sin(

/ 2) f

cos(

/ 2) e

Находим решение

/ 2 ,

c ei

sin

/ 2 ,

cos

/ 2

c cos

(

)

ei sin / 2

Нормировка (8.13) приводит к | c |

1, тогда с точностью до постоянного фазо-

вого множителя

n (

)

cos

/ 2

(П.11.7)

sin / 2

Примеры 11								297
Для собственного	значения	S n		/ 2	заменяем в (П.11.7)		n	n ,
,	и получаем
	n (	,	)	sin	/ 2	.	(П.11.8)
	n (	,	)	ei cos		.	(П.11.8)
				ei cos		/ 2
Выполняются условия нормировки (8.13) и ортогональности (8.14):
	n	n	1,	n	n	0 .

Спиноры (П.11.7) и (П.11.8) образуют полный ортонормированный базис, по которому разлагается любое спиновое состояние:

c1 n c2 n ,

n , c2

n .

Из (П.11.7) и (П.11.8) получаем

n	( 2 , )	n	( , ) ei B	n	( , ) .

При циклическом повороте вектора n в плоскости изменяется знак спи-

нора, появляется фазовый сдвиг

B	,	(П.11.9)
B

называемый геометрической фазой Берри. То же имеет место при циклическом повороте спина и неизменном n. Шиварамакришнан Панчаратнам обнаружил в 1956 г., что световая волна, проходящая через среду, вращающую плоскость поляризации, набирает геометрическую фазу помимо динамической фазы, вызванной пространственным перемещением. Результат интерференции определяется суммарной фазой. Майкл Берри в 1984 г. показал, что волновая функция квантовой системы получает фазовый сдвиг при циклическом изменении гамильтониана. Обобщение (П.11.9) на случай спина с проекцией mS имеет вид

B	2 mS .	(П.11.9а)
Для произвольного спинора (8.17) существует направление n, для которо-
	ˆ	) . Сравнивая
го он является собственной функцией оператора проекции Sn ( ,

298 Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА

спинор	c1	с (П.11.7), получаем cos				/ 2	c , ei	c	1	c2 1/2	, находим
	c2						1	2		1
	c2
углы и направление n.
При	0 ,			вектор	n направлен		по	оси z	и	для	оператора
ˆ	ˆ	из	(П.11.7) и		(П.11.8)	получаем		собственные			функции
Sn (0, )	Sz	из	(П.11.7) и		(П.11.8)	получаем		собственные			функции
z	1	и	z	0	, совпадающие с (8.16).
z	0		z	1
	0			1
При	/ 2 ,			0 вектор n направлен по оси x. Из (П.11.7) и (П.11.8) на-
				ˆ	ˆ
ходим для оператора Sn ( / 2, 0)					Sx собственные функции

1	1	1		(		),

	1
2		2
						(П.11.10)
1	1		1
					(	).

	1
2		2

При	/ 2 ,	/ 2 вектор n направлен по оси y. Из (П.11.7) и (П.11.8)
для оператора	ˆ	ˆ	получаем
	Sn ( / 2,	/ 2) Sy

1	1	1	(		i	),
1		1
	i
2		2
2		2				(П.11.11)
1	1	1				(П.11.11)
	1			(	i	).

	i
2		2
2		2

Соотношения, обратные к (П.11.10) и (П.11.11), имеют вид

1	(
2
1	(
2

	x )	1			(
x
x		2
		2
	x )		i	(
x
x		2
		2

y y ),

(П.11.12)

y y ).

11.4. Для состояния	1	с проекцией спина Sz / 2 на ось z найти
	0

вероятности обнаружения проекций Sz			/ 2 на ось z , которая повернута на

угол относительно оси z. Найти среднюю проекцию спина на ось z .

Примеры 11							299
Состояние	разлагаем по базису состояний (П.11.7) и (П.11.8) со спи-
ном, направленным по n и против него:
			a	n b		n .
Умножая разложение на (		n )	и используя условие ортонормированности
базиса, находим коэффициенты
	a	(	n )		cos( / 2),
	b	(	n )		sin(		/ 2).
Вероятности проекций Sz		/ 2 равны
	W		\| a \|2	cos2 (		/ 2),
			\| b \|2	sin2 (			(П.11.13)
	W		\| b \|2	sin2 (		/ 2).
Среднее (8.15)
	__
	Sz '	2	W	2	W	2	cos
		2		2		2

совпадает с классическим определением проекции вектора. Для взаимно пер-

пендикулярных осей z и z (	/ 2) получаем
W ( )	W ( )
W ( )	W ( )		1/ 2 ,		Sz '		0 .
11.5. Найти спиновые функции двухэлектронных состояний								S ,mS	с
								S ,mS
определенными значениями полного спина S и проекции Sz .
Если спины электронов 1 и 2 направлены вдоль оси z, то
(1)	1	,		(2)		1	,
(1)				(2)
	0					0
	0	1				0	2
двухчастичное состояние имеет спиновые числа							S 1, mS 1 и описывается
функцией
	(1)		(2)	1		1	.	(П.11.14)
	(1)		(2)
1,1				0 1		0
1,1
							2

300 Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА

Для состояния S	1, mS	1 аналогично получаем
					(1)	(2)	0		0	.	(П.11.15)
					(1)	(2)
		1,	1				1 1		1
		1,	1
										2
Состояние mS 0	возникает,			если проекции спина частиц имеют противопо-
ложные знаки:
		S,0		c	(1)	(2)	c	(1)		(2) .
		S,0		1			2
Коэффициенты с1	и с2 для состояния с S						0 и mS				0 находим из уравнения
(8.8) в виде
	ˆ2	0,0			ˆ2	ˆ2	ˆ2		0,0		0 ,
	S	0,0			Sx	Sy	Sz		0,0		0 ,

тогда

Учитывая Sx

	ˆ	0,0		0 ,	ˆ
	Sx	0,0		0 ,	Sy	0,0
ˆ(1)	ˆ	(2)	, получаем:
Sx	Sx		, получаем:
	c1	ˆ(1)		ˆ(2)	(1)	(2)
0,0	c1	Sx		Sx

0 ,	ˆ	0,0	0 .
	Sz
c2	ˆ(1)	ˆ(2)	(1) (2)	0 .
	Sx	Sx

Операторы с индексом действуют на функции с тем же индексом. Используя результат задачи 4.24 в виде

					ˆ	(k ) (k )					(k )				,
					Sx						2				,
											2
находим
	ˆ			(c1				c2 )		(1)			(2)			(1)		(2)	0
	Sx 0,0		2	(c1				c2 )											0
			2
и получаем c2	c1 . Уравнения						ˆ					0 и			ˆ			0,0 0 дают тот же резуль-
и получаем c2	c1 . Уравнения					Sy			0,0			0 и			Sz			0,0 0 дают тот же резуль-
тат. Из условия нормировки (8.13) \| c1 \|2													\| c2 \|2
тат. Из условия нормировки (8.13) \| c1 \|2													\| c2 \|2				1	находим c1		c2 1/ 2 и
получаем
				1					(1)	(2)				(1)			(2)
		0,0
		0,0		2
				2
			1			1			0				0			1		.		(П.11.16)
						0			1				1			0

			2
			2					1		2				1			2
								1		2				1			2

Примеры 11

301

Спиновая функция двухчастичного состояния														S	0 антисимметрична
при перестановке частиц.
Для состояния
					c3		(1)		(2)	c4	(1)		(2)
				1,0	c3					c4
находим коэффициенты из условия ортогональности															0,0	1,0	0 . Учитывая
															0,0	1,0
	(k )	(k )		(k )		(k )
(8.16)	(k )	(k )	0 ,	(k )		(k )		1 , получаем c3						c4	1 /	2 ,
(8.16)			0 ,					1 , получаем c3						c4	1 /	2 ,
					1			(1)	(2)		(1)		(2)
				1,0
				1,0	2
					2
				1	1			0		0		1		.			(П.11.17)
					0			1		1		0

				2			1		2		1		2
				2

Из (П.11.14), (П.11.15) и (П.11.17) следует, что спиновые функции двухчас-

тичных состояний S 1 симметричны при перестановке частиц.

Состояние частиц 1 и 2

(1)	(2)	(1)	(2)	(П.11.18)
S ,0				(П.11.18)
S ,0

называется перепутанным по проекциям спина. Термин entangled state ввел Э. Шрѐдингер в 1935 г. Функция (П.11.18) не представима в виде произведения функций одночастичных состояний. Частицы 1 и 2 находятся в общем случае в разных местах, имеют неопределенные проекции спина, при этом проекция полного спина равна нулю. Частицы взаимно коррелированны: если у частицы 1 измерить проекцию спина на произвольное направление, то, как следует из примера 11.3, возможные результаты / 2 . Тогда у частицы 2 состояние изменяется – проекция на то же направление становится / 2 . Частицы могут находиться на произвольно большом расстоянии друг от друга, и такое преобразование состояния частицы 2 без прямого воздействия на нее оз-

начает нелокальность перепутанного состояния. Этот результат получили А. Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен в 1935 г. и рассматривали его как парадокс, опровергающий квантовую механику. Однако нелокальность перепутанного состояния подтверждена многочисленными экспериментами. Получают перепутанное по координате, импульсу, спину, поляризации состояние двух частиц посредством распада системы, находящейся в определенном по этим параметрам состоянии.

302	Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА

Опыт с перепутанными по поляризации фотонами, проведенный А.В. Белинским в 2002 г., показан на рис. 8.3. Плоскополяризованное излучение лазера направляется на нелинейный кристалл. На выходе рождаются пары фотонов со взаимно перпендикулярными поляризациями, обозначенными точкой и стрелкой, регистрируемые соответственно детекторами a и b. Один фотон рассеивается в канал 1, другой – в канал 2. Состояние пары перепутано по типам поляризации аналогично (П.11.17). До регистрации частиц не существует определенной поляризации у каждого фотона пары. В одном из каналов с вероятностью 1/2 срабатывает детектор a или b и определяется поляризация соответствующего фотона. В этот момент происходит редукция состояния – становится однозначным результат срабатывания детекторов в другом канале, на каком бы расстоянии эти детекторы ни находились. Каким образом результат регистрации одного фотона мгновенно становится известен второму фотону, если расстояние между ними произвольно велико? Согласно квантовой не-

локальности распространяющиеся в пространстве отдельные фотоны

отсутствуют до момента их регистрации, измерение создает физическую реальность. Причинность при этом не нарушается.

кристалл

лазер

			анализаторы		детекторы
			л	1	a
		а
	н
а
к					b
					b
к					a
к
ана
			л 2		b
					b

Рис. 8.3. Получение и анализ перепутанного по поляризации состояния

Функция (П.11.18) с условием нормировки \|					\|2	\| \|2 1 образует супер-
позицию	S,0	(0)	(1) экспериментально различимых состояний
	S,0
		(0)	(1) (2) ,	(1)	(1)	(2)

и является квантовой единицей информации – кубитом (qubit от англ. quantum bit – квантовый бит). Термин ввел Бен Шумахер в 1995 г. В отличие от бита,

принимающего значения 0 или 1, кубит	S,0	несет значение 0 с вероятностью
	S,0

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции Квант.мех. СГФ

#
11.03.20164.25 Mб2462014_krasnop.pdf
#
11.03.201613.88 Mб243Квант. мех..pdf
#
11.03.20164.98 Mб96Квант.лекция 0.doc
#
11.03.20169.91 Mб140Квант.лекция 1.doc
#
11.03.20161.84 Mб131Квант.лекция 2.doc
#
11.03.20165.14 Mб121Квант.лекция 3.doc
#
11.03.2016452.61 Кб91Квант.лекция 4-1.doc

\| L S \| J L S ,	\| l s \| j l s .
Для электрона получаем
j \| l	1/ 2 \| .