Лекции Квант.мех. СГФ / Квант. мех

радиационной калибровке (7.5).

Действие магнитного поля на квантовую систему учитывается подста-

вающих систему без магнитного поля. Электрическое поле со скалярным потенциалом υ учитывается слагаемым потенциальной энергии

В результате уравнение Шрѐдингера и операторы физических величин содержат потенциалы A, .

Калибровочное преобразование. Фаза волновой функции частицы

неизмерима, поскольку физические характеристики являются билинейными комбинациями волновой функции. Измерима только разность фаз волновой функции в разных точках. Поэтому изменение фазы, называемое калибровоч-

ным преобразованием:

не должно влиять на физические характеристики системы.

Если сдвиг фазы не зависит от координат и времени, то (7.15) называется глобальным преобразованием. Оно не изменяет уравнение Шрѐдингера и

взаимодействует частица. Мера взаимодействия характеризуется электриче-

ским зарядом частицы q. В результате локальное изменение фазы волновой функции эквивалентно появлению электромагнитного поля, которое вво-

дится подстановками (7.13) и (7.14). Если преобразование (7.15) сопровожда-

254 Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

ется градиентным преобразованием потенциалов (7.4) с калибровочной функцией f ( / q) в виде

то уравнение Шрѐдингера и выражения для физических характеристик сохра-

В результате плотность вероятности, плотность тока вероятности и урав-

нение Шрѐдингера

не изменяются при калибровочном преобразовании. Не изменяются и соб-

ственные значения оператора любой физической величины. Производные фазы волновой функции частицы с зарядом q сопоставили с электромагнитными потенциалами Герман Вейль и Фриц Лондон в 1923–1928 гг.

калибровочного преобразования является оператор заряда. Для частицы с электрическим зарядом калибровочная инвариантность обеспечивается

взаимодействием с электромагнитным полем и его переносчиком – фотоном. Обобщение калибровочного преобразования на другие виды сохраняющихся зарядов – изоспин, лептонное число, барионное число – предложили Чжэньнин Янг и Роберт Миллс в 1954 г. На этой основе построены теории электрослабого и сильного взаимодействий, для которых компенсирующими полями и переносчиками взаимодействия являются частицы бозоны со спином 1: фотон;

W , W , Z 0 ; восемь глюонов (от англ. glue – клей).

Операторы физических величин. С учетом подстановок (7.13) и

(7.14) гамильтониан, уравнение Шрѐдингера, плотность тока вероятности

(2.71) и плотность электрического тока в электромагнитном поле получают вид

Плотность тока вероятности (7.19) калибровочно инвариантна и удовлетворяет уравнению непрерывности (2.73).

Используя (7.13) и (7.2), находим

Операторы проекций кинетического импульса заряда в магнитном поле не коммутируют.

Проекции скорости заряда в магнитном поле определяются одновременно с ограниченной точностью.

Результат обобщает (2.74) на случай магнитного поля.

7.3. УРОВНИ ЛАНДАУ

Состояния заряда в стационарном однородном магнитном поле получил Лев Давидович Ландау в 1930 г.

Гамильтониан заряда q в магнитном поле согласно (7.17)

Подставляем решение в уравнение, делим его слева на ψ и получаем уравнение для υ(x)

ная потенциальная энергия. Сравниваем с уравнением гармонического осцил-

258 Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

лятора (3.23), который колеблется с частотой ω и амплитудой нулевых колеба-

Решаемая задача соответствует осциллятору, колеблющемуся относительно точки

/ (qB) lM , совпадающей с магнитной длиной (1.30). Используя (3.32), находим решение уравнения

(7.26) следует полуклассическое приближение (1.28). С учетом поступательного движения по оси z получаем

В (7.27) не учтено взаимодействие спинового магнитного момента заряда с магнитным полем. Случайный потенциал, действующий на электрон, приводит к конечной ширине уровней Ландау EM ,n .

Соотношение неопределенностей для координат. При большой

длине волны де Бройля λ r отсутствует понятие траектории заряда. Координатам центра циклотронного движения (7.25) с учетом (7.13) ставим в соответствие операторы

Координаты центра циклотронного движения определяются одновременно с ограниченной точностью. Из (7.29) с учетом (1.33) следует неопреде-

ленность магнитного потока

Магнитный поток измеряется при помощи заряда с точностью, не превышающей величины кванта магнитного потока.

Число состояний на уровне Ландау. Состояние υn (x) зависит от

положения центра циклотронного движения x1 , энергия (7.26) не зависит от x1 , поэтому уровень Ландау вырожден. Для движения, ограниченного обла-

условия Борна–Кармана (3.8) получаем

260 Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

где N – целое число. Допустимые значения импульса имеют шаг δpy h / Ly .

Число состояний на уровне Ландау пропорционально числу квантов магнитного потока, приходящихся на область, доступную для движения заряда.

На основании (7.29) полагаем, что циклотронное движение занимает площадь

кратностью вырождения уровня без учета спина. Следовательно, каждое цик-

где pz изменяется непрерывно. Модуль импульса в плоскости, перпендикулярной полю, удовлетворяет соотношению Онсагера

Рис. 7.1. Уровни Ландау

В p-пространстве поверхности с энергиями En имеют вид коаксиальных

цилиндров, показанных на рис. 7.1, б. При низкой температуре энергия системы зарядов ограничена энергией Ферми, что соответствует сфере в p- пространстве. С увеличением магнитного поля радиусы цилиндров увеличиваются, внешний цилиндр выходит за пределы поверхности Ферми и опустошается от зарядов. Это вызывает колебания электропроводности – эффект Шубникова–де Гааза и колебания магнитной восприимчивости – эффект де Гааза–ван Альфена.

7.4.ЭФФЕКТ ААРОНОВА–БОМА

Вклассической электродинамике заряд, находящийся в области, где E и

B равны нулю, но (υ, A) 0 , не подвергается силовому действию поля, т. е. векторный потенциал A(r) , не зависящий от времени, и скалярный потенциал υ(t) , не зависящий от координат, не действуют на классический заряд. Дэвид Бом и Якир Ааронов показали в 1959 г., что фаза волновой функции заряда

изменяется под действием скалярного и векторного потенциалов даже в том случае, когда нет силового действия поля на частицу. Магнитный эф-

фект Ааронова–Бома подтвержден интерференционными экспериментами

вне области, которая доступна для частицы, на состояние квантовой частицы свидетельствует о нелокальности квантового состояния. Рассмотрим эф-

фект Ааронова–Бома в магнитном и электрическом полях.

Магнитный эффект. Пусть в рамках полуклассической квантовой механики заряд q движется перпендикулярно магнитному полю В по замкнутой траектории. Полуклассическое квантование (1.22) с учетом (1.32) дает

где 1 = h / q ; n – магнитный поток через поверхность, ограниченную траекторией n =1, 2, 3,... Согласно (1.17) и (3.55) изменение фазы при прохождении частицей траектории n без магнитного поля

Из (1.34) и (7.35) следует вклад магнитного поля в изменение фазы при движении по замкнутой траектории

Влияние векторного потенциала на фазу волновой функции является эффектом Ааронова–Бома. Рассмотрим действие поля соленоида на плоский ротатор на основе уравнения Шрѐдингера.

Ротатор в поле соленоида. Силовые линии бесконечно тонкого и длинного соленоида, показанного на рис. 7.2, сосредоточены внутри соленоида и рассеиваются на бесконечности. Вне соленоида B = 0 и отсутствует силовое действие поля на заряд, находящийся вне соленоида.

В цилиндрических координатах

Bz (r) 2π δ(r2 ) ,