Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1296 вузов, 5031 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лекции Квант.мех. СГФ / Квант. мех

..pdf
Скачиваний:
239
Добавлен:
11.03.2016
Размер:
13.88 Mб
Скачать
☆

Г л а в а 6

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Точное решение уравнения Шрѐдингера удается получить для ограниченного числа одно- и двухчастичных систем. Для других слу-

чаев используются приближенные методы. К ним относится теория возмущений, развитая применительно к квантовой механике Э. Шрѐдингером в 1926 г., и вариационный метод Ритца, разработанный Вальтером Ритцем в 1908 г.

Возмущением называется малое слагаемое потенциальной энергии, дополнительное к исходному гамильтониану системы. Считаем, что для по-

следнего существует решение. Далее рассматриваются:

1)стационарное возмущение системы с невырожденным спектром;

2)стационарное возмущение системы с вырожденным спектром;

3)нестационарное возмущение.

6.1. СТАЦИОНАРНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

Возмущение V (r) , где – малый безразмерный параметр, является слагаемым потенциальной энергии стационарной системы

U (r) U0 (r) V (r) ,

где U0 (r) – невозмущенная часть. Гамильтониан системы

ˆ

ˆ

ˆ

H

H0

V

214 Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

 

 

ˆ

, для которой существует аналитическое реше-

содержит основную часть H0

ние уравнения Шрѐдингера. При

 

0 система описывается собственными

функциями

(0)

гамильтониана

ˆ

 

 

 

n (r)

H0

 

 

 

 

 

 

ˆ

(0)

(0)

(0)

(6.1)

 

 

 

H0

n

En

n .

Состояния считаем невырожденными, имеющими дискретный спектр и образующими полный базис { (0)n } с условием ортонормированности

 

 

(0)

*

(0)

n,m .

(6.2)

 

 

n

 

m dV

Возмущенные состояния

n

удовлетворяют уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

n En

n .

(6.3)

 

 

H0

V

Получим состояния n и их энергии En .

Разложение по порядкам теории возмущений. Искомые вели-

чины разлагаем в ряды по степеням ε и, пользуясь его малостью, ограничиваемся тремя слагаемыми

 

 

 

 

 

 

(0)

(1)

2

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

n

 

 

n ,

 

 

 

(6.4)

 

 

 

 

 

E(0)

E(1)

2 E

(2) .

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

n

 

n

 

 

 

 

Степень

называется порядком теории возмущений.

Подставляем (6.4) в

(6.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

(0)

ˆ

 

(1)

ˆ

(0)

2

ˆ

(2)

ˆ

(1)

 

 

 

H0 n

H0 n

V

n

H0 n

V

n

 

 

E(0)

(0)

E(0)

(1)

 

E(1)

(0)

2

E(0)

 

(2)

E(1)

(1)

E(2)

(0) .

n

n

n

n

 

n

n

 

n

 

n

n

n

n

n

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях ε и получаем для нулевого порядка уравнение (6.1), а для первого и второго порядков:

 

ˆ

(1)

ˆ

(0)

(0)

(1)

(1)

(0)

,

 

(6.5)

 

H0

n

V

n

En

n

En

n

 

ˆ

(2)

ˆ

(1)

(0)

(2)

(1)

(1)

(2)

(0)

(6.6)

H0

n

V

n

En

n

En

n

En

 

n .

6.1. Стационарное возмущение невырожденных состояний

215

Разложение по невозмущенным состояниям. Используя полноту базиса

{ (0)n }, разлагаем искомые функции:

 

 

 

(1)

 

 

' p

(0)

,

 

 

 

 

 

(6.7)

 

 

 

n

 

 

nk

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

'q

(0)

,

 

 

 

 

 

(6.8)

 

 

 

n

 

 

nk

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где знак «'» означает отсутствие в сумме слагаемого k

n , которое учтено в

нулевом порядке. Найдем поправки к энергии E(1) ,

E(2)

и коэффициенты раз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

ложения pnk , qnk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первый порядок теории возмущений. Подставляем (6.7) в (6.5) и

учитываем (6.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

(0)

(0)

ˆ

(0)

(0)

'

pnk

(0)

 

(1)

(0)

 

 

pnk Ek

k

V

n

 

En

 

k

En

n .

(6.9)

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

Для получения уравнения с одной неизвестной проектируем (6.9) на орт

(0)n ,

для этого умножаем (6.9) на

(0)

*

, интегрируем по объему и учитываем (6.2)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

(0)

* ˆ

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vn ,

 

 

 

 

En

 

n

 

V

n dV Vnn

 

 

(6.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

E(0)

V .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

Поправка первого порядка к энергии определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения, т. е. равна среднему значению возмущения по невозмущенному состоянию.

Аналогично проектируем (6.9) на орт

 

(0)n , где n

n :

(0)

(0)

* ˆ

(0)

dV pnn

(0)

pnn En

n

V

n

 

En .

Обозначая n k и используя матричный элемент оператора возмущения

Vkn

(0)

* ˆ

(0)

 

 

k

V

n

dV ,

(6.11)

216 Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

находим

 

 

 

pnk

 

Vkn

 

.

 

 

 

(6.12)

 

 

 

E(0)

E(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

k

 

 

 

 

 

Отсутствие вырождения

En(0)

Ek(0)

обеспечивает конечность

pnk . Из (6.4),

(6.7) и (6.12) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

'

 

 

Vkn

 

 

 

(0) .

(6.13)

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k En(0) Ek(0)

k

 

 

 

 

 

 

 

Малость поправки к

(0)

дает условие применимости (6.10) и (6.13)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|V | | E(0)

 

E(0)

| .

 

(6.13а)

 

 

 

kn

 

n

 

k

 

 

 

 

 

Свойства первого порядка теории возмущений

1. Выражение (6.13) не содержит слагаемых с k n , поэтому состояния

nнормированные.

2.Диагональный матричный элемент возмущения дает поправку к энергии и не дает вклада в волновую функцию.

3.Недиагональные матричные элементы не дают вклада в энергию, но определяют поправку к волновой функции.

4.Чем ближе друг к другу уровни невозмущенной системы, тем сильнее изменяется волновая функция.

Второй порядок теории возмущений. Подставляя (6.7), (6.8) в

(6.6) и учитывая (6.1), получаем

 

'

 

(0)

(0)

'

ˆ

(0)

 

 

 

 

 

 

 

qnk Ek

k

 

pnkV

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

E(0)

'q

(0)

E(1)

' p

(0)

E(2)

(0) .

 

(6.14)

n

 

nk

k

n

 

nk

k

n

n

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

Проектируем уравнение на орт

(0)

, т. е. умножаем (6.14) на

(0)

*

, ин-

n

n

 

тегрируем по объему и используем условие ортонормированности (6.2). С учетом (6.11) получаем

' Vnk pnk En(2) .

k

6.1. Стационарное возмущение невырожденных состояний

217

Используя выражение (6.12) для p

nk

и соотношение V

 

V *

, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nk

 

kn

 

 

 

 

(2)

 

 

'

 

1

 

 

'

| Vkn |2

,

 

 

 

E

 

 

 

V

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

k

nk

En(0)

 

 

Ek(0)

kn

 

k

En(0)

 

Ek(0)

 

 

 

 

 

E

 

E(0)

V

 

2

'

| Vkn |2

 

,

 

 

 

(6.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

nn

 

 

En(0)

Ek(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

где |Vkn |2 Vkn* Vkn Vnk Vkn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично проектируем уравнение (6.14) на орт

(0)n , где n

n :

 

q E(0)

 

' p

 

V

q

E(0)

p E(1) .

 

 

 

 

 

nn

n

 

nk

 

n k

nn

 

n

nn

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначая n k и учитывая (6.10) и (6.12), находим

 

 

 

 

 

 

qnk

'

 

 

 

Vkn Vn n

 

 

 

 

Vkn Vnn

 

 

.

(6.16)

n

En(0)

En(0)

 

 

En(0)

Ek(0)

En(0)

 

Ek(0)

2

 

 

 

 

 

 

Свойства второго порядка теории возмущений

 

1. Для основного состояния n

0 из (6.15) с учетом E(0)

E(0) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

k 0

E(2)

0 . Поправка второго порядка к основному состоянию понижает его

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

энергию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Для двухуровневой системы с учетом E(0)

 

E(0)

из (6.15) получаем

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

E

E(0)

V

2

 

| V12 |2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

11

 

E(0)

E

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

(6.17)

 

 

 

 

 

 

| V12 |2

 

 

 

E

E(0)

V

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

22

 

 

E(0)

E(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

Энергия верхнего уровня увеличивается во втором порядке, энергия нижнего уровня уменьшается. Возмущение во втором порядке раздвигает уровни.

3. Чем ближе уровни энергии, тем сильнее реагирует система на возмущение.

dU / dx , тогда

218

Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

ПРИМЕРЫ 7

7.1. На линейный гармонический осциллятор действует постоянная сила f. Найти уровни энергии во втором порядке теории возмущений и волновую функцию основного состояния в первом порядке.

Потенциальную энергию выражаем через силу f

 

 

 

 

 

 

f x ,

ˆ

 

 

ˆ

f x ,

 

ˆ

 

2

 

 

d 2

 

 

2

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

H H0

 

H0

 

2 dx2

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

ˆ

– гамильтониан невозмущенного осциллятора с собственными значе-

H0

ниями (3.39) E(0)

 

(n

1/ 2) ;

f x

 

V – возмущение. Матричные элемен-

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ты возмущения

Vkn

f xkn

находим, используя (3.38) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn,n 1

 

xn 1,n

x0

 

 

n / 2 , xn,n 1

xn 1,n

x0

 

 

(n 1) / 2 ,

 

где

x0

 

 

/

.

В

первом порядке

поправка

к

энергии

(6.10)

равна

E(1)

V

 

 

0 . Во втором порядке в сумме (6.15) остаются слагаемые k

n 1

n

n,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и k

n

1, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 E(2)

 

f 2

| x

 

|2

 

 

| x

 

|2

 

 

f 2

n 1

 

 

n

 

 

 

f 2

 

 

 

 

 

n 1,n

 

 

 

 

n 1,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не зависит от n. Энергия всех состояний уменьшается на f 2 / (2

 

2 ) , что со-

гласуется с точным решением (П.4.12). Поэтому поправки выше второго порядка равны нулю.

 

Учитывая

V

f x

1

 

f x

, из

(6.13)

находим волновую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

k ,0

2

 

0 k,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функцию основного состояния в первом порядке теории возмущений

 

 

 

 

0 (x)

0(0) (x)

 

f x0

 

1(0) (x)

1

f

x

(0)0 (x) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где использовано (3.32а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.2.

 

На линейный осциллятор действует ангармоническое возмущение

ˆ

x

3

. Для основного состояния найти волновую функцию в первом поряд-

V

 

ке теории возмущений и энергию в двух порядках.

Примеры 7

219

Из (6.11), (6.13), (6.15) и (3.39) получаем

E

E(0)

V

2

'

 

| Vk 0 |2

 

,

(0)

'

Vk 0

(0)

,

0

0

00

 

 

E0(0)

Ek(0)

 

0 0

 

E0(0) Ek(0)

k

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

E(0)

 

n

1

 

,

V

 

(0) * x3

(0) dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

2

 

 

k 0

k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя (3.34)

x

(0)

x0

 

n 1

n

2

 

 

 

 

 

 

находим

(0) n 1

n

2

(0)

,

x0

/ ( ) ,

n 1

x3 (0)

x3

 

3

 

 

0

0

2

 

 

(0)

3

3

22

(0) .

1

Учитывая (3.33) в виде

(0)

(0)

dx k,n , получаем

n

k

V

x3

 

3

 

 

3

 

 

, V

0 .

 

 

k,3

 

 

 

k,1

 

 

 

 

 

k 0

0

2

2

2

00

 

 

 

 

 

 

 

В результате

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

(0)

2

(0)

(0)

 

 

0

 

 

,

0 (x)

0

 

 

 

3

3 1

23/2

3

 

 

 

 

 

 

7.3. Плоский ротатор с моментом инерции

J z и дипольным моментом р,

перпендикуляр-

ным оси вращения Оz, находится в однородном электрическом поле E, показанном на рис. 6.1. Для основного невырожденного состояния найти связанные с полем поправки к энергии первого и второго порядков и к волновой функции первого порядка.

Невозмущенные

состояния

(0)n ( )

(2 ) 1/2ei n , где n

0, 1, 2,...

и уровни

 

1

 

2

11 x6

E

 

 

 

 

 

0

.

 

 

 

 

0

2

 

 

 

8

 

 

 

 

p

2

0 1 x

E

Рис. 6.1. Ротатор в электрическом поле

220 Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

энергии

E(0)

2 / (2J

z

)

 

n2

 

E(0)n2

 

плоского ротатора получены в приме-

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ре 6.1. Возмущение

ˆ

 

 

E p

 

 

Ep cos

 

 

 

 

имеет матричные элементы

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

E p

2

 

ei(n

 

k )

cos

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kn

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулу Эйлера и

 

 

e i(n

k ) d

 

 

2

 

 

n,k , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

1

Ep (

 

 

 

 

 

 

 

) ,

 

| V |2

 

1

(Ep)2 (

 

 

 

 

 

 

) ,

V

 

0

,

 

 

 

 

 

k,n 1 k,n 1

 

 

k,n 1

k,n 1

 

 

kn

 

 

2

 

 

 

 

 

 

kn

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

nn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0(0) 0

, E0(2)

 

1

(Ep)2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

(Ep)2

2

 

Ep

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J z ,

 

4

 

(0)

(0)

 

 

(0)

 

(0)

 

4

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

 

 

E1

 

 

 

 

E0

 

 

 

 

E 1

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E0

 

 

 

 

Ep

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие

 

применимости

 

решения

 

J

z

pE 2 .

 

Из

(6.12)

 

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0,k

 

J zE p

 

( k ,

1

 

 

k ,1) , из (6.13) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ( )

 

1

 

 

 

1

2JzEp

 

cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

действует на близко расположенные уровни 1 и 2.

 

Возмущение V

 

Остальные уровни находятся достаточно далеко. Найти энергии состояний, не используя приближенные методы.

 

Исходные

ортонормированные

состояния

 

(0)

и

(0)

с

энергиями

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

(0)

(0)

(0)

E1

E2

удовлетворяют

уравнению Шрѐдингера

H0

1,2

E1,2

1,2 . Для

возмущенного уравнения

ˆ

ˆ

E

ищем точное решение в виде су-

H0

V

перпозиции исходных состояний

1

(0)

2

(0)

с постоянными коэффи-

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

циентами. Подстановка в уравнение (E

ˆ

ˆ

дает

 

 

 

H0 )

V

 

 

 

 

 

 

(0)

(0)

 

 

(0)

(0)

 

ˆ

(0)

ˆ

(0)

 

 

 

1

E E1

1

 

2 E E2

2

 

1V

1

2 V

2 .

Примеры 7

221

Проектируем уравнение на орт

руя по x и учитывая

(0) *

i

 

В результате получаем

 

 

(0)

, умножая равенство на

(0) *

, интегри-

 

1

 

1

 

 

(0)

dx i,k . Аналогично проектируем на

(0)

k

 

2 .

 

 

 

E

E(0)

V

1

V

 

2

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

11

 

12

 

 

 

 

 

 

V

1

E

E(0)

V

 

2

0 .

 

 

 

 

 

21

 

2

 

22

 

 

 

 

Условие совместности системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

(E E1) (E E2 ) |V12 |

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0)

V11,

 

 

(0)

V22 .

 

 

 

 

E1

E1

E2

E2

 

Энергии возмущенных уровней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

E1,2

2

E1

E2

(E2

E1)

 

4 |V12 | .

(П.7.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

возмущение линейно раздвигает уровни

 

 

 

При E1

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

E1

2 | V12 | .

 

 

 

(П.7.2)

7.5. Доказать, что электроны сверхпроводника, обменивающиеся квантом акустических колебаний – фононом, притягиваются друг к другу.

Возмущение системы рассматриваем как испускание и поглощение виртуальной частицы (от лат. virtualis – способный), появляющейся на короткое время. Ее импульс, масса и энергия не связаны определенным соотношением, поэтому виртуальную частицу невозможно зарегистрировать детектором.

Каждый порядок теории возмущений графически описывается диаграммой Фейнмана. Исходные и конечные частицы изображаются сплошными линиями. Виртуальная частица изображается пунктирной линией. Стрелка на линии показывает импульс частицы. Точка соединения линий – вершина диаграммы – соответствует матричному элементу оператора возмущения. Число вершин равно порядку теории возмущений. В каждой вершине выполняются законы сохранения импульса и энергии.

222

Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

Взаимодействие между электронами посредством обмена фононом с энер-

гией

, где – частота упругой волны в кристалле, и с импульсом q

описывается диаграммами рис. 6.2, где процессы развиваются снизу вверх. Электрон испускает виртуальный фонон, который поглощается другим электроном. Такой процесс с реальным фононом запрещен законами сохранения энергии и импульса. Диаграммы соответствуют второму порядку теории возмущений. Поправка к энергии (6.15) связана со взаимодействием и имеет вид

U

 

E(2)

V

 

1

 

V

,

вз

 

 

 

E(0)

 

 

 

n,вир

n,вир

E(вир) вир,n

 

 

 

 

q

n

 

q

 

где n – исходное состояние электронов; q – виртуальное состояние. Суммирование ведется по вкладам двух диаграмм и импульсам фонона. Энергии частиц являются четными функциями импульса, так для фонона (q) ( q) . Энергии начального и конечного состояний одинаковые:

 

E(0)

 

n

p'

p'

1

2

 

 

q

p1

1

E(p1) E(p2 ) E(p1)

p'

1

виртуальные

 

состояния

 

p2 2

1

p1

E(p2 ) .

p'

t

2

 

q

p

2 2

а б

Рис. 6.2. Взаимодействие между электронами 1 и 2

Энергии виртуальных состояний на рис. 6.2, а и б равны

Eвир

E(p )

E(p

)

,

а

1

2

 

 

Eвир

E(p )

E(p

)

.

б

1

2

 

 

Матричный элемент взаимодействия электрона с фононом Vn,вир Vp,q слабо зависит от импульсов. Суммирование вкладов диаграмм дает

Uвз

| Vp,q |2

1

1

 

 

 

E(p1) E(p1)

 

E(p1) E(p1)

q

 

 
Соседние файлы в папке Лекции Квант.мех. СГФ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности