Лекции Квант.мех. СГФ / Квант. мех

ˆ

1

pˆ

2

2

U (r) ,

(5.1)

H

2

U (r)

2

где

pˆ 2

2

2

2

2

2 .

x2

y2

z2

184

Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ

ной энергии. С учетом (5.1) и (4.34) получаем

ˆ

2

ˆ

1

ˆ2

U (r) .

(5.2)

H f

2

r, f

2r2

Lf

В стационарном уравнении Шрѐдингера

ˆ

E

радиальная и угловые пе-

H f

ременные разделены, тогда

(r)

R(r) Yf (n) ,

ˆ2

с собственным значением

где Yf (n) – собственная функция оператора L f

(4.32) в виде 2 2 , где

f

2

l f (l f

f

2) .

f

Учитывая (4.35), получаем уравнение для радиальной функции

2

d 2

f

1 d

2

f

U (r)

R(r) E R(r) .

(5.3)

2

dr2

r

dr r2

5.1. Уравнение Шрёдингера в сферических координатах

185

R(r)

y(r)

(5.4)

r( f

1)/2

с учетом

R

f

1

R

y

1

( f

1)(3

f )

y

1

r

4

r2

r( f

1)/2

устраняет в (5.3) первую производную и дает уравнение типа (3.1)

y

2

[E V (r)]y

0 ,

(5.5)

2

где эффективная потенциальная энергия

V (r)

U (r)

2

,

2

1

( f

1)(3

f )

2 r2

f

4

ность R(0)

c требует

y(r

0)

c r( f 1)/2

.

dV f r f

1 dr d

r 0

С учетом

f

условие ортонормированности для дискретного

спектра имеет вид

RE* ,l (r) RE ,l (r) r f 1dr

E,E ,

0

(5.6)

y*E,l (r) yE ,l (r) dr

E,E .

0

Трехмерное пространство. Для стационарной центрально-симмет-

ричной системы из (5.2) и (4.35) при f

3 получаем

2

2

ˆ2

ˆ

ˆ

1

ˆ2

pˆr

L

H

2

r

2r2

L

U (r)

2

2 r2

U (r) .

(5.7)

186

Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ

Из (4.5) и (5.7) находим

ˆ ˆ

0 ,

ˆ ˆ

,

ˆ ˆ

H , Lz

H , L 0

Lz , L 0 .

ˆ ˆ2 ˆ

H , L , Lz , т. е. числами Е, l, m.

Радиальный импульс. Из (4.36) и (4.39) при

f

3 находим

pˆr

1

1

(r

),

i

r r

i r

r

(5.8)

2

2

2

1

2

pˆ 2

2

r2

2

(r ).

r

r2

r r

r2

r

r

r

r2

Стационарное уравнение Шрѐдингера с учетом (5.7) получает

вид

2

ˆ2

pˆr

L

U (r)

E,l,m

E E,l,m .

2

2 r2

Решение ищем в виде

E,l,m (r, , ) R(r) Y ( , ) .

Подстановка в последнее уравнение, умноженное на

2μr2 и деленное слева на

ψ, дает

r2

1

ˆ

2

2

2

2

pˆr R 2 r

[U (r) E]

L Y

.

Y

R

ˆ2

аналогично уравнению (4.14), поэтому

l(l 1) и Y Yl,m –

Уравнение для L

сферическая функция. Уравнение для R получает вид

pˆ 2 R 2 [U (r) E] R

2l(l 1)

R 0 ,

r

r2

188

Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ

В

цилиндрических

координатах

из

результата

задачи 3.17 с

учетом

nr

n

находим оператор импульса и гамильтониан стационарной систе-

мы с осью симметрии Oz:

pˆ

nr

n

1

nz

,

i

i

r

r

z

ˆ

pˆ

2

2

2

1

1

2

2

H

U (r, z)

U (r, z)

2

2

r2

r r

r2

2

z2

2

ˆ2

2

ˆ

r,2

Lz

pˆ z

U (r, z) ,

(5.15)

2

2

r2

2

2

2

2

1

где

ˆ

r,2

– энергия радиального движения в плоскости

2

2

r2

r

r

ˆ2

(x, y);

Lz

– энергия вращения в плоскости (x, y);

ˆ

– оператор проек-

2J z

Lz

i

ции момента импульса;

J

z

r

2

– момент инерции;

pˆ z2

– энергия движения

2

по оси z;

pˆ z

– оператор проекции импульса. Если система трансляци-

i z

онно инвариантна по оси z, то U

U (r) и

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

[H , Lz ] 0 ,

[H , pˆ z ] 0 , [ pˆ z , Lz ] 0 .

ˆ

ˆ

pz / и m:

2 | E | / , kz

H , pˆ z , Lz , или числами k

5.2. Уравнение Шрёдингера в цилиндрических координатах

189

ˆ

2

2

Стационарное уравнение Шрѐдингера H

E

2

k

с уче-

том (5.15) получает вид

2

2

ˆ2

2

2

1

Lz

pˆ z

U (r)

k 2 .

(5.16)

2

r2

r r

2

r2

2

2

Переменные r, z и разделены, с учетом

ˆ

m

k ,kz ,m ,

pˆ z k ,kz ,m kz k ,kz ,m

Lz k,kz ,m

ищем решение в виде

k ,kz ,m

(r,

, z)

R

(r) eikz z eim

.

(5.17)

k ,kz ,m

Подставляем (5.17) в (5.16) и получаем радиальное уравнение

R

1

R

k 2

kz2

m2

2

U (r) R

0 ,

(5.18)

r

r2

2

прямоугольными потенциалами при

r

r0

0

применимы краевые условия,

аналогичные полученным в разделе 3.2.

Замена (5.4)

R(r)

y(r)

r

с учетом R

1

R

1

y

1

y

устраняет первую производную и дает

r

4r2

r

уравнение

y

(k 2

k 2 )

2

V

(r)

y 0 ,

(5.19)

z

2

m

где эффективная потенциальная энергия

V (r) U (r)

2

m2

1

,

(5.19а)

m

2

r2

4

притяжения к оси z, даже для свободной частицы при U(r)

0 . Ортонормиро-

ванность функций дискретного спектра имеет вид (5.6)

yk*,k

z

,|m| (r) yk ,k

z

,|m| (r) dr

k ,k .

(5.20)

0

на U (r)

Ze2

показана на рис. 5.1. Используем сферические координаты с

4

0 r

E = 0

r0 2r0

8r0

r

E3 =E1/9

E2 =E1/4

U(r)= e2/r

E1

R1,0(r)

Рис. 5.1. Уровни n

1, 2, 3,

атома водорода

5.3. Водородоподобный атом

191

Водородоподобным образованием в полупроводнике является экситон,

состоящий из электрона и дырки с эффективными массами

me и mh . Такая

система рассматривается в координатах относительного движения

r re rh

как частица с приведенной массой

me mh / m , где m me mh ,

и импуль-

R

2

R

2 E