Г л а в а 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
где учтено (1.30), тогда дисперсия
|
|
|
|
|
|
D ≡ |
(∆n)2 |
= |
n2 |
−n2 = Np (1− p) = n (1− p) . |
(1.33) |
||||||||||||||||
Дисперсия равна нулю при |
p = 0 и p =1, |
при p =1/ 2 достигается |
|||||||||||||||||||||||||
максимальное значение Dmax = N / 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
График распределения для N =10 , |
p = 0, 45 , n = 4,5 |
показан |
|||||||||||||||||||||||||
на рис. 1.1, a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W(n) |
W(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 4 6 8 10 n |
0 |
|
2 4 6 8 10 12 n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
б |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для N = 10, n = 4,5, р = 0,45 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Распределение Пуассона |
|
|
||||||||||||||||||
Вероятность появления |
признака у |
частицы считаем |
малой |
||||||||||||||||||||||||
p = n / N <<1 и большим общее число частиц N >> n , тогда выполня-
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
ется распределение вероятности Пуассона – если
признак имеют в среднем n частиц, то его вероятность для n частиц
W (n) = nn e−n . |
(1.34) |
n n!
При n <1 вероятность монотонно уменьшается с
увеличением n. Распределение установил С. Пуассон в 1837 г. Получим распределение на основе производящей функции.
22
1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Производящая функция. Используем (1.30) N = n / p и произ-
водящую функцию биномиального распределения (1.29)
Φp,n (x) =[1+(x −1) p]n / p .
Учитываем p <<1 и
lim (1+ a p)1/ p = ea ,
p→0
где a = x −1. Получаем производящую функцию для распределения
Пуассона
|
Φn (x) = e−n+x n . |
(1.35) |
|||||||
Выполняется нормировка (1.16) Φn (1) =1. В (1.15) |
|
||||||||
W (n) = |
1 d nΦN (x) |
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
n! |
|
dxn |
|
x=0 |
|
||||
подставляем (1.35) и с учетом |
|
|
|
|
|
|
|||
|
d nΦn (x) |
= n |
n |
Φn (x) |
|
||||
|
dxn |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим распределение Пуассона (1.34).
Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Из (1.32) и (1.33) при p <<1 получаем
n2 |
= Np (1+ Np) = n + n2 , |
(1.36) |
|
D = Np = n . |
(1.37) |
Для флуктуации δn = 
D выполняется закон больших чисел – флук-
туация относительно среднего значения равна корню квадратному из среднего значения
δn = |
n |
. |
(1.38) |
23