ПРИМЕРЫ 13

пучок втягивается в узлы стоячей волны. Возникает решетка линий, на которых резко возрастает число осажденных атомов. Две взаимно перпендикулярные стоячие волны создают решетку точек сгущений атомов. Наименьший полученный размер узла наноструктуры ~15 нм.

Используются также маски размером ~10 мкм вместе с камерой-

обскурой, уменьшающей изображение маски в ~104 раз до ~10 нм. Из

атомов рубидия получен когерентный пучок с поперечным сечением ~1 нм. Это позволяет размещать атомы на подложке с высокой точ-

ностью.

Атомтроника использует БЭК и лазерные лучи для управления и контроля потоком атомов, где их роль аналогична роли электронов в электронике. Отталкивание между атомами делает их поведение аналогичным поведению фермионов, вызванному принципом Паули. Цепочка потенциальных ям оптической решетки с разной заселенностью атомами БЭК, которые туннелируют между ямами, работает аналогично диоду и транзистору – выключателю и усилителю. Сверхтекучесть атомов БЭК приводит к отсутствию сопротивления цепи. Такие устройства могут использоваться для квантовой обработки информации. БЭК в кольцевом канале является высокочувствительным сенсором вращения. В высоком вакууме в кольцевой ловушке диаметром 40 мкм, созданной методом нарисованного потенциала, вращаются как

единое целое с общей волновой функцией сотни тысяч атомов БЭК при температуре в нанокельвины. В двух местах кольца сделаны потенциальные барьеры путем снижения интенсивности лазерного луча в этих точках. Один из барьеров перемещается, в результате распределение атомов по кольцу изменяется, что позволяет измерить перемещение (An atomic SQUID / C.A. Sackett // Nature. – 2014. – Vol. 505. – Р. 166).

Примеры 13

13.1. Для слабо вырожденного свободного трехмерного бозонного газа при TC <T ≤| µ | /k найти химический потенциал и теплоемкость.

Из (П.10.21) получаем

µ µкл − 2kT3/2 eµкл/kT ,

363

Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

где для классического газа согласно (4.31) и (4.32)

µкл = −kT ln NS (2πmkT )3/2 ,h3n

выражаем химический потенциал при T >TC через температуру порога конденсации TC :

Объединение результатов дает зависимость теплоемкости от темпера-

туры, показанную на рис. 4.36. При температуре порога БЭК

364

ПРИМЕРЫ 13

13.2. Найти температурную зависимость химического потенциала свободного трехмерного бозонного газа вблизи порога конденсации.

a = 2hπ3 NSV (2m)3/2 . Добавляем в газ столько частиц, что он начинает

конденсироваться при температуре Т, тогда N1 = a ∞∫ ε/kTε dε. Вбли-

0 e −1

зи порога конденсации | µ | мало, и основной вклад в интегралы вносит ε << kT . Разлагаем экспоненты в ряд

N1 − N πakT | µ| ,

µ(T ) − (πakT1 )2 (N1 − N )2 .

365

Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

Вблизи порога конденсации используем (4.140)

и при (T −TC ) <<TC получаем параболическую зависимость

показанную на рис. 4.32. При выводе последнего равенства использовано

T−TC ≡ ∆, T 3/2 = (TC + ∆)3/2 =TC3/2 (1+ ∆ / TC )3/2 TC3/2 + 32 ∆ TC1/2 .

13.3.Найти температуру порога конденсации TC и число конденсированных частиц при T ≤TC для бозонного газа с числом частиц N, удерживаемых гармонической ловушкой с потенциальной энергией

пренебрежимо малым (µ′ = 3 ω/ 2 << kTC ) .

Для рассматриваемой системы используем плотность состояний

(П.8.4)

g(ε) = γε2 ,

где

Сравнение (П.13.4) с (4.141) показывает, что для частиц в ловушке температура конденсации растет медленнее с увеличением числа ча-

366

ПРИМЕРЫ 13

N >> 4NS . Число конденсированных частиц при T ≤TC находим из

(4.148)

NC (T ) = N 1−(T / TC )3 .

13.4. Нерелятивистский свободный двухмерный газ состоит из N бозонов массой m, находящихся на площади S и занимающих нижнюю зону размерного квантования. Найти химический потенциал при температуре Т.

Плотность состояний двухмерного нерелятивистского газа находим из (3.17) g = 2πhN2 S Sm . Из (3.3) и (4.18) получаем число частиц газа

От температуры N не зависит, поэтому при уменьшении T уменьшается модуль химического потенциала. Интеграл вычисляем заменой

e(ε−µ)/kT = z , dε = kT dz / z , находим

N/ g =| µ | −kT ln(e|µ|/kT −1) .

Вотличие от трехмерного случая значение µ = 0 не достижимо при

конечной температуре из-за расходимости интеграла (П.13.5) на нижнем пределе.

При | µ | << kT разлагаем экспоненту в ряд и используем

367

Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

Химический потенциал свободного двухмерного газа при любом числе частиц стремится к нулю только при T → 0 и бозе-конденсация при конечной температуре отсутствует. Это показал P.C. Hohenberg в 1967 г. для двухмерного и одномерного газа.

температуру порога конденсации TC и число конденсированных частиц при T ≤TC , считая электрохимический потенциал пренебрежимо

малым (µ′ = ω<< kTC ) .

Для газа в ловушке используем плотность состояний (П.8.3)

В отличие от свободного двухмерного газа, рассмотренного в приме-

ре 13.4, в 2D-системе с пространственным ограничением БЭК происходит при конечной температуре. Слабость ловушки ω<< kTC с

учетом (П.13.7) выполняется при N >> π2NS / 6 . Число конденсированных частиц при T ≤TC находим из (4.148)

368

ПРИМЕРЫ 13

Температура конденсации TC входит в формулу для числа частиц газовой фазы

на для свободного газа, что соответствует q = 0 , а также для газа в п а- раболической ловушке с a = 2 . Число конденсированных частиц при T ≤TC находим из (4.147)

через спектр энергии частицы {εm}.

Среднее число бозонов (4.18) на уровне m = 0,1,... ∞ выражаем че-

∞∞

=∑ Ane−nεm /kT −1 = ∑ Ane−nεm /kT .

n=0 n=1

Получаем

369

Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

где статистический интеграл большого канонического распределения бозонов

m=0

Результат согласуется с (П.10.46).

13.8. На осциллятор с затуханием действует периодическая сила f0 e−iωt . Найти разность фаз между смещением осциллятора и

приложенной силой при слабом затухании.

На тело массой m действует периодическая сила, упругая сила −κ x и сила вязкого трения −r x , где κ – коэффициент жесткости;

r – коэффициент трения. Второй закон Ньютона дает

При r = 0 и q0 = 0 уравнению (П.13.13) удовлетворяет решение в виде свободных незатухающих колебаний

x(t) = x0 cos(ω0t +ϕ0 ) ,

370

ПРИМЕРЫ 13

где ω0 – частота свободных колебаний. При q0 = 0 уравнению (П.13.13) удовлетворяет решение в виде затухающих колебаний

x(t) = x1 e−t/τ cos(ω1t +ϕ1) ,

где ω1 = ω02 −τ−2 – частота затухающих колебаний; τ – время затуха-

ния. Уравнению (П.13.13) удовлетворяет решение в виде вынужденных колебаний

вательно, если частота вынуждающей силы ниже частоты свобод-

ных колебаний осциллятора со слабым затуханием, то смещение осциллятора и сила совпадают по фазе. Если частота силы выше частоты свободных колебаний, то смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой.

371