1.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Заменяем x = ey в (1.14):
N
ΦN (ey ) = ∑W (n) eyn ,
n=0
получаем
|
|
|
|
= |
d mΦN (ey ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
nm |
|
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dym |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
||
D = d |
2 |
ΦN (e |
y |
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
) |
|
− dΦN (e |
|
) |
. |
(1.19) |
||||||
|
|
dy2 |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Использование производящей функции упрощает вывод соотношений теории вероятности.
1.4. Характеристики случайной непрерывной величины
Если случайная величина x изменяется непрерывно, то вероятность ее нахождения в интервале (x, x + dx) равна dW (x) .
Плотность вероятности или функция распределения x равна вероятности ее обнаружения в единичном интервале около значения x:
w(x) ≡ dW (x) . |
(1.20) |
dx |
|
Тогда вероятность нахождения в интервале dx около x dW (x) = w(x) dx .
Для стационарного случайного процесса w(x) не зависит от времени. Например, для равновесного газа вероятность обнаружения у частицы скорости в интервале (v, v + dv) равна
dW (v) = w(v) dv = dnn(v) ,
17
Г л а в а 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
где dn(v) – концентрация частиц, скорости которых находятся в ука-
занном интервале; n – концентрация частиц со всеми скоростями. Тогда плотность вероятности
w(v) = |
1 |
dn(v) . |
(1.21) |
|
n |
dv |
|
Условие нормировки
∫dW (x) = ∫w(x) dx =1 |
(1.22) |
следует из того, что интервал интегрирования заключает в себе полный набор реализаций случайной величины. Для (1.21) из (1.22) в виде
∫dW (v) = ∫w(v) dv =1
получаем |
|
||
|
|
∫dn(v) = n . |
|
Средние значения случайной величины x и ее функции |
f (x) |
||
равны |
|
||
x = ∫x dW (x) = ∫x w(x) dx , |
|
||
|
|
= ∫ f (x) w(x) dx , |
(1.23) |
|
f |
||
где интегрирование ведется по всей области определения x.
Характеристическая функция h(u) является фурье-образом
плотности вероятности, или средним значением функции e−iux по рассматриваемому распределению
∞ |
|
h(u) ≡ ∫ w(x)e−iuxdx = e−iux . |
(1.24) |
−∞
Обратное преобразование Фурье выражает функцию распределения через характеристическую функцию
|
1 |
∞ |
|
|
w(x) = |
∫ h(u)eiuxdu . |
(1.25) |
||
2π |
||||
|
−∞ |
|
||
|
|
|
18