Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

другими частицами, поэтому pF увеличивается с ростом концентрации

частиц.

Если бы принцип Паули не действовал, то для получения энергии Ферми потребовалась бы температура, называемая температурой Ферми:

Сравниваем ее с критической температурой вырождения (4.35) и получаем TF Tкр . Характеристики электронного газа металлов первой

группы приведены в табл. 2.

Поверхность Ферми является изоэнергетической поверхностью в пространстве квазиимпульса ε(P) = εF . Эта поверхность ограничива-

ет область состояний, занятых электронами при T → 0 , от области, где нет электронов. Для свободного электронного газа поверхность Ферми является сферой с радиусом, равным импульсу Ферми (4.39). Приблизительно форму сферы имеет поверхность Ферми щелочных металлов Na, K, Rb, Cs, у которых достаточно велико расстояние от сферы Ферми до края первой зоны Бриллюэна. В общем случае поверхность Ферми в кристалле имеет многосвязную форму, вызванную дифракцией и интерференцией волны де Бройля в кристаллической решетке. Для металлов Na, Cu, Cs поверхность Ферми показана на рис. 4.8, где многогранник является границей зоны Бриллюэна. Поверхность Фер-

ми пересекает границу зоны Бриллюэна под прямым углом. Дей-

ствительно, поверхность Ферми описывается уравнением ε(P) = εF . На границе зоны групповая скорость электрона равна нулю:

256

4.5. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ МЕТАЛЛА И ПОЛУПРОВОДНИКА

vгр = dε(P) / dP = 0 . Геометрически это означает, что перемещение по

поверхности зоны происходит перпендикулярно изоэнергетической поверхности, т. е. поверхности Ферми.

Рис. 4.8. Ферми-поверхность металлов: (а) – Na, (б) – Cu, (в) – Cs

Внешнее электрическое поле E ускоряет электрон, он передвигается в импульсном пространстве, поверхность Ферми смещается. Рассеяние электрона на примесях и дефектах кристаллической решетки изменяет импульс. Электрон с максимальным импульсом перебрасывается в свободные ячейки импульсного пространства, находящиеся около поверхности Ферми. В результате внешнее электрическое поле не изменяет радиуса сферы Ферми pF , но сдвигает ее центр на ∆p.

Величину сдвига находим из второго закона Ньютона ∆p = F ∆t = eE τ, где τ = lF / vF – время релаксации импульса; lF – длина свободного пробега электрона на уровне Ферми, движущегося со скоростью vF .

Средняя энергия электрона. Из (4.36) получаем вероятность того, что энергия электрона находится в интервале (ε, ε+ dε) :

Выполнена нормировка ∫dW1(ε) =1. Выражаем a / n из (4.37) и находим среднюю энергию электрона трехмерного газа

257

Г л а в а 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ

При T → 0 получаем

где учтено (4.37). Конечность энергии при абсолютном нуле вызвана действием принципа Паули.

Внутренняя энергия U0 и давление P0 при абсолютном

нуле температуры. Для трехмерного электронного газа используем U = ε N , P = −∂U / ∂V . Из (4.43) находим

Давление электронного газа при абсолютном нуле температуры равно двум третям от внутренней энергии единицы объема,

что совпадает с результатом для классического газа. Для золота n = 5,9 1022 см−3 , P0 ≈1011 Па ≈106 атм.

Кроме металлов существуют другие объекты, где вырожденный газ фермионов определяет основные свойства вещества. Звезда белый

карлик состоит из гелия с плотностью ρ ~ 106 г/см3 . Сильное грави-

тационное сжатие звезды отрывает атомные электроны от ядер, и образуется электронный газ. Давление электронного газа противостоит сжатию звезды. Масса такой звезды порядка массы Солнца, радиус порядка радиуса Земли. Расстояния между полностью ионизованными

атомами d ~ 10−3 нм, что почти в 100 раз меньше расстояния между атомами в молекуле водорода. Концентрация электронов, энергия Ферми, температура Ферми, температура звезды и давление равны:

≈1017 атм. Выполняется T <TF , следовательно, электронный газ вырожден.

258