3.1. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЧАСТИЦЫ
Г лава 3 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Квантовая статистическая физика изучает системы из большого числа микрочастиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория учитывает тождественность микрочастиц,
наличие у них спина, принцип запрета Паули для фермионов – частиц с полуцелым спином. Из уравнения Шрёдингера следует дискретность спектра энергии пространственно ограниченной частицы. Ее волновая функция характеризуется квантовыми числами. Энергия частицы зависит от части квантовых чисел, отсутствие зависимости от других квантовых чисел называется вырождением по энергии.
Состояние частицы описывается волновой функцией, содержащей набор квантовых чисел. Часть из них связана с пространственным движением и определяет энергию частицы. Другие квантовые числа, куда входят спин и его проекции, связаны с внутренними степенями свободы. При отсутствии магнитного поля энергия заряда не зависит от проекции спина, его наличие не проявляется в фазовом пространстве. Состояние частицы характеризуется уровнем энергии, на котором она находится, и проекцией спина. Число состояний в некотором интервале энергии равно произведению числа уровней энергии в этом интервале на число проекций спина, которые могут быть у частицы. Число частиц равно числу состояний, умноженному на среднюю заселенность частицами одного состояния.
При большом количестве частиц используется полуклассическая квантовая механика, когда проводится усреднение по результатам многих измерений и операторные величины оказываются классическими функциями.
3.1. Плотность состояний частицы
Физические свойства многочастичного идеального газа определяются энергетическим спектром состояний и распределением частиц по состояниям. Спектр энергии частицы зависит от гамильтониана
197
Г л а в а 3. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
и доступной области пространства. Из уравнения Шрёдингера и краевых условий следует, что чем больше объем газа, тем меньше расстояние между соседними уровнями энергии. При макроскопическом объеме спектр состояний квазинепрерывный и характеризуется плотностью состояний – числом состояний в единичном интервале энергии
g(ε) ≡ dNсост(ε) . |
(3.1) |
dε |
|
Число состояний с энергией в интервале (ε,ε+ dε) равно |
|
dNсост(ε) = g(ε) dε . |
(3.2) |
Число частиц газа dN(ε) в интервале энергии (ε,ε+ dε) пропорционально числу состояний dNсост(ε) и среднему числу частиц в одном состоянии n(ε) , или заселенности состояния:
dN(ε) = n(ε) g(ε) dε. |
(3.3) |
Результат аналогичен классическому соотношению (2.162).
Кратность вырождения по спину. Вектор спина у частицы может иметь 2S +1 проекций на произвольно выбранное направление, где S – спиновое квантовое число. При отсутствии магнитного поля проекция спина не влияет на энергию частицы, тогда кратность вырождения уровня энергии
NS = 2S +1. |
(3.4) |
Для электрона S =1/ 2 и NS = 2 ; для фотона |
NS = 2 , несмотря на |
спин S =1. Теория относительности запрещает для фотона, движущегося со скоростью света, направление спина перпендикулярное к скорости, тогда остаются проекции по и против скорости.
Плотность состояний квантовой частицы g(ε) , по сравнению с плотностью состояний классической частицы g1(ε) , определенной в
(2.22), учитывает кратность вырождения по спину. В результате число состояний в единичном интервале энергии
3.1. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ ЧАСТИЦЫ
Из (2.22) и (3.5) получаем |
|
|
|
|
|
g(ε) = NS |
dX (ε) |
, |
(3.6) |
|
|
|
dε |
|
|
где |
|
|
|
|
|
X (ε) = |
1 |
∫ d f r d f p |
(3.7) |
f |
|
h |
ε |
|
|
|
является безразмерным объемом фазового пространства частицы, ограниченным гиперповерхностью, соответствующей полной энергии ε. Для получения X (ε) используется дисперсионное соотношение
ε = ε(q, p) , связывающее энергию f-мерной частицы с ее обобщенными
координатами q и импульсами p.
Для частицы, удерживаемой потенциальным полем, с законом
дисперсии ε = s pt |
+u(q) , где p – |
модуль импульса, |
из (2.24) |
и (3.5) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πf /2NS |
|
|
|
∫ |
|
|
|
−1+ f /t |
|
f |
|
|
g(ε) = |
|
|
|
|
|
|
|
[ε−u(q)] |
|
d |
|
q . |
(3.8) |
t Γ( f / 2) h |
f |
s |
f |
/t |
|
|
|
|
|
|
|
u(q)≤ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, для ε = p2 / 2m +u(r) из (3.8) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
NS |
|
|
1/2 |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
f |
=1: |
g(ε) = |
|
|
(2m) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(3.9) |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε−u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x)≤ε |
|
|
|
|
|
f |
= 2 : |
g(ε) = |
2πNS |
m S(ε) , |
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= 3: |
g(ε) = |
2πNS |
(2m)3/2 |
∫ |
|
|
d3r , |
(3.11) |
|
ε−u(r) |
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
u(r)≤ε |
|
|
|
|
|
где S(ε) – площадь, ограниченная замкнутой кривой u(r) = ε.
Если отсутствует внешнее поле и f-мерная частица находится в сосуде объемом Vf , то энергия частицы не зависит от координат
ε = ε( p) , тогда из (2.26) и (3.5) находим
Г л а в а 3. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
g(ε,Vf ) = |
N |
S |
Vf |
dVp, f |
(ε) |
, |
(3.12) |
|
|
dε |
|
|
h f |
|
|
|
где Vp, f (ε) = ∫ d f p – объем импульсного пространства, ограничен-
ε( p)
ный гиперповерхностью ε = ε( p) . Если энергия не зависит также и от
направления импульса, то гиперповерхность является сферой. Для дисперсионного соотношения
где s, t, u – вещественные числа; p – модуль импульса, из (2.27) и (3.5) при ε ≥ u получаем
|
g(ε,Vf ) = |
2πf /2NS |
|
|
|
Vf |
|
|
|
(ε−u) |
−1+ f /t |
. |
(3.14) |
|
t Г( f / 2) h f s f |
/t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε = p2 / 2m +u |
|
|
|
|
(3.15) |
из (2.28) – (2.30) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
=1: |
g(ε, L) = |
L |
|
|
|
2m |
|
|
, |
|
|
|
|
(3.16) |
|
|
|
|
ε−u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= 2 : |
g(S) = |
2πNS |
m S , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= 3: |
g(ε,V ) = a V |
|
, |
|
|
|
a = |
2πNS |
(2m)3/2 . |
(3.18) |
ε−u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
Следовательно, плотность состояний зависит от кинетической энергии частицы ε−u , с ее увеличением расстояние между соседними уровнями уменьшается для одномерного газа, увеличивается для трехмерного газа, для двухмерного газа спектр энергии эквидистантный.
