1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Г лава 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Вероятность случайного события
Событие – появление определенного признака. Вероятность события равна относительному числу его появлений. Например, у газа в сосуде с течением времени хаотически изменяется кон-
центрация частиц около точки r, т. е. число частиц в единице объема
n(r,t) ≡ число частиц в элементе объема .
объем элемента
Для дискретного набора возможных концентраций событием является наблюдение определенной концентрации nk . Для получения веро-
ятности этого события проводим N измерений, концентрация nk , рас-
сматриваемая как положительный результат, |
наблюдается Nk |
раз, |
|||
тогда вероятность результата |
|
|
|
|
|
W (n ) ≡ число положительных результатов = lim Nk . |
(1.1) |
||||
k |
|
|
|
|
|
число измерений → ∞ |
N→∞ N |
|
|||
|
|
||||
Область значений вероятности ограничена интервалом
0 ≤W ≤1 между невозможным и достоверным событиями. Зависи-
мость W (n) называется функцией распределения вероятности со-
бытий. Например, при бросании симметричной игральной кости, имеющей 6 граней, вероятность выпадения какой-либо определенной грани равна 1/6 и распределение вероятности равномерное.
11
Г л а в а 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1.2. Теоремы о вероятности
Несовместимые события A1, A2,..., Ak не могут произойти од-
новременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат:
или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей
несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий:
W (A или B) ≡ lim |
N(A) + N(B) |
=W (A)+W (B). |
(1.2) |
|
N |
||||
N→∞ |
|
|
Если A1, A2,..., Ak – полный набор несовместимых событий,
включающий все возможные события, то какое-либо из них обязательно происходит, тогда выполняется
W (A1 или A2,..., или Ak ) =1.
С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для пол-
ного набора несовместимых событий
k |
|
∑W (Ai ) =1. |
(1.3) |
i=1
Например, движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения
W (влево)+W (вправо) =1.
Если гамильтониан системы симметричен по направлениям, тогда
W (влево) =W (вправо) =1/ 2.
Независимые события A1, A2, ..., Ak не влияют друг на друга .
Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой части-
цы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых
событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий
W (A иB) =W (A)W (B). |
(1.4) |
12