- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение
- •Основные положения
- •1.1. Вероятность случайного события
- •1.2. Теоремы о вероятности
- •1.3. Характеристики случайной дискретной величины
- •Относительная флуктуация
- •1.4. Характеристики случайной непрерывной величины
- •1.5. Биномиальное распределение
- •1.6. Распределение Пуассона
- •1.7. Нормальное распределение
- •Результаты (1.44) и (1.45) совпадают с выражениями (1.36) и (1.37) для распределения Пуассона. Из (1.41) и (1.45) получаем плотность вероятности в виде
- •Примеры 1
- •СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •2.1. Фазовое пространство системы частиц
- •2.2. Число микросостояний
- •2.3. Энергетическая плотность состояний
- •2.4. Характеристики макросостояния
- •2.6. Теорема Лиувилля
- •Аналогично течет несжимаемая жидкость, сохраняя свою плотность. Теорема используется для получения функции распределения состояний по фазовому пространству. Теорему доказал Ж. Лиувилль в 1838 г.
- •2.7. Микроканоническое распределение
- •Примеры 2
- •2.8. Каноническое распределение
- •Примеры 3
- •2.10. Распределение тепловой энергии по степеням свободы
- •Примеры 4
- •2.11. Распределение Максвелла
- •2.12. Поток частиц
- •Примеры 5
- •Задачи 1
- •2.13. Распределение Больцмана
- •Примеры 6
- •2.14. Химический потенциал и активность
- •2.15. Распределение частиц по состояниям.
- •2.17. Большое каноническое распределение
- •Примеры 7
- •2.18. Условия применимости классической статистической физики
- •Задачи 2
- •3.1. Плотность состояний частицы
- •Примеры 8
- •3.2. Каноническое распределение квантового газа
- •Примеры 9
- •СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ
- •4.1. Большое каноническое распределение квантовой системы
- •Результат выражается через статистическую сумму (4.9)
- •4.2. Распределение фермионов
- •4.3. Распределение бозонов
- •Объединенное распределение по состояниям имеет вид
- •Если бы принцип Паули не действовал, то для получения энергии Ферми потребовалась бы температура, называемая температурой Ферми:
- •Рис. 4.8. Ферми-поверхность металлов: (а) – Na, (б) – Cu, (в) – Cs
- •4.6. Распределение Ферми–Дирака для f-мерного газа
- •4.7. Двухмерный электронный газ
- •4.8. Одномерный электронный газ
- •4.9. Баллистический проводник
- •4.10. Сканирующий туннельный микроскоп
- •Примеры 10
- •4.11. Фотонный газ
- •Концентрация фотонов со всеми частотами
- •Вычисляем интеграл по формуле
- •Получаем
- •Примеры 11
- •4.12. Фононный газ
- •Примеры 12
- •4.13. Конденсация Бозе–Эйнштейна
- •Примеры 13
- •Задачи 3
- •ПРИЛОЖЕНИЯ
- •1. Физические постоянные
- •Постоянная Больцмана
- •Число Авогадро
- •Газовая постоянная
- •Постоянная Планка
- •Масса свободного электрона
- •Заряд электрона
- •Магнетон Бора
- •2. Интегралы классической статистики
- •3. Интегралы квантовой статистики
- •4. Суммы рядов
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
2.13. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
2.13. Распределение Больцмана
Рассмотрим распределение частиц идеального газа по координатам во внешнем поле при температуре Т. Без внешнего поля все точки объема с газом равноправны. Тепловое движение разбрасывает частицы газа с равной вероятностью по всему объему и концентрация частиц не зависит от координат. В стационарном потенциальном поле частица имеет потенциальную энергию u(r) и на нее действует сила
f = −grad u(r) , fz = − |
∂u(r) |
, |
|
∂z |
|||
|
|
направленная в сторону быстрейшего уменьшения потенциальной энергии. Сила перемещает частицы газа в указанном направлении, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц по координатам n(r) .
Функция распределения. Используем каноническое распределение частицы газа по фазовому пространству (2.86)
dW1(X ) = 1 e−H1( X ) / kT dX . Z1
В гамильтониане H1(p,r) = p2 / 2m +u(r) каждое слагаемое зависит от
одного аргумента, поэтому распределения по импульсам и координатам разделяются:
dW1(r,p) = h31Z1 e−H1/kT d3r d3p = dW1, p (p) dW1,r (r) .
Интегрируем по импульсам и с учетом нормировки ∫dW1, p (p) =1 по-
лучаем для координат распределение Больцмана
dW (x, y, z) ≡ dN(x, y, z) |
= A e−u(x,y,z)/kT dx dy dz , |
(2.141) |
||
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
где dW1(x, y, z) |
– вероятность обнаружения частицы в элементе объема |
|||
dx dy dz = dV ; |
dN(x, y, z) – число частиц в элементе объема dV ; N – |
|||
число частиц в объеме сосуда V; |
u(x, y, z) – потенциальная энергия |
|||
151
Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
частицы во внешнем поле в точке r = (x, y, z) . Из (2.141) находим
функцию распределения Больцмана – вероятность обнаружения ча-
стицы в единице объема около точки r
|
|
w (r) ≡ dW1(r) = A e−u(r)/kT . |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
dV |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нормировка вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∫dW1(x, y, z) =1 |
|
|
||||||
дает постоянную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e−u(x,y,z)/kT dV |
|
|
|
|||||
Из (2.141) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW (r) |
= |
|
e−u(r)/kT d3r |
= |
e−u(x,y,z)/kT dx dy dz |
. |
(2.142) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
∫e−u(r)/kT d3r |
|
∫e−u(x,y,z)/kT dx dy dz |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если потенциальная энергия |
|
зависит от одной |
|
координаты |
||||||||
u = u(z) , то интегрируем (2.142) по координатам x и y в пределах объема сосуда с газом и находим
dW |
(z) = w (z) dz = |
dN(z) |
= |
e−u(z)/kT dz |
, |
(2.143) |
|
|
|||||
1 |
1 |
N |
|
∫e−u(z)/kT dz |
|
|
|
|
|
|
|
где dW1(z) – вероятность обнаружения частицы в интервале (z, z + dz) ; w1(z) – плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы
в единичном интервале около z; N – число частиц в сосуде. Число частиц в интервале координат (z, z + dz) сосуда
dN(z) = |
N |
e−u(z)/kT dz . |
(2.144) |
|
∫e−u(z)/kT dz |
||||
|
|
|
В объеме газа мысленно выделяем цилиндр с образующей вдоль z, с поперечным сечением S и числом частиц N . В интервале (z, z + dz)
с объемом dV = S dz находится число частиц dN(z) = n(z) S dz ,
152
|
|
2.13. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА |
|
|
|
||||||
где концентрация частиц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n(z) ≡ dN(z) = |
|
N |
|
e−u(z)/kT . |
(2.145) |
||||
|
|
|
dV |
|
S ∫e−u(z)/kT dz |
|
|
|
|
||
|
Формула Больцмана. Рассмотрим газ в однородном поле тяже- |
||||||||||
сти. Сила тяготения mg действует на частицу вниз. Тепловая энергия |
|||||||||||
kT |
раскидывает частицы по |
разным высотам. |
Концентрация |
n(z) |
|||||||
уменьшается с высотой z. Потенциальная энергия частицы u(z) = mgz , |
|||||||||||
где m – гравитационная масса частицы; |
z ≥ 0 . Для концентрации на |
||||||||||
высоте z получаем из (2.145) формулу Больцмана |
|
|
|||||||||
|
|
|
n(z) = n(0) e−mgz/kT , |
|
|
(2.146) |
|||||
где n(0) – концентрация при z = 0 . График распределения показан на |
|||||||||||
рис. 2.25. На высоте z = kT |
концентрация n(z ) |
= 1 n(0) |
уменьшается |
||||||||
|
|
1 |
mg |
|
|
|
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в e 2,72 |
раза, где e – основание |
n(0) |
n(z) |
|
|
|
|||||
неперовых |
логарифов. |
С |
ростом |
|
|
|
|||||
температуры растет z1 , |
распределе- |
|
|
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
T >T |
|||||||
ние по высоте становится более |
n(0) |
|
|
|
|||||||
равномерным, уменьшается |
число |
e |
|
|
|
|
|
||||
частиц на малых высотах и увели- |
|
0 |
|
|
z1 |
z |
|||||
чивается число частиц на больших |
|
|
|
||||||||
высотах. Площадь под кривой рас- |
Рис. 2.25. Распределение частиц по |
||||||||||
пределения не зависит от темпера- |
|
|
|
высоте |
|
|
|||||
туры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если частицы заполняют цилиндр 0 ≤ z < ∞ с поперечным сечени- |
||||||||||
ем S, тогда число частиц в цилиндре |
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
∞ |
kT . |
N = ∫n(r) dV = S ∫n(z) dz = S n(0) ∫e−mgz/kT dz = S n(0) |
||
0 |
0 |
mg |
|
||
Получаем концентрации при z = 0 и около точки z n(0) = NS mgkT , n(z) = NS mgkT e−mgz/kT .
153
Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Площадь под кривой распределения
∞ |
N mg |
∞ |
||
∫ n(z) dz = |
∫e−mgz/kT dz = |
|||
|
|
|||
S kT |
||||
0 |
0 |
|||
|
|
|||
Вероятность обнаружить частицу в интервале (z,
dW (z) = |
n(z) dz |
|
= |
e−mgz/kT dz |
|
= |
mg |
|||
∞ |
|
∞ |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
kT |
||||
|
|
|
∫ n(z) dz |
∫e−mgz/kT dz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Среднее положение частицы |
|
|
|
|
|
|||||
z ≡ |
∫ |
z dW (z) = mg ∞ z e−mgz/kT dz = kT |
= |
|||||||
|
1 |
kT |
∫ |
|
|
mg |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где использовано (2.132) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ z e−mgz/kT dz = kT |
. |
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
mg |
|
|
||
Число частиц в цилиндре
N = S n(0) z .
NS .
z + dz)
e−mgz/kT dz .
RT |
= |
N |
, |
|
µg |
S n(0) |
|||
|
|
(2.147)
(2.148)
Средняя потенциальная энергия частицы с учетом z = kT / mg равна
εпот = mg z = kT .
Этот результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Используем (2.103), (2.107) и для одной степени свободы с потенциальной энергией u(z) = mgz находим
εпот = kT .
Частные значения. При T = 300 К для воздуха µ = 29 кг/кмоль
получаем z = RTµg ≈ 8 км. Число частиц в столбе воздуха с единичным
154