Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

необходимая для разделения двух состояний электрона, или другого носителя информации. Результат (П.3.17) получил также Дж. фон Нейман в 1949 г. Величина kT ln 2 ограничивает снизу энергию реаль-

ных процессов преобразования информации, как показано эксперимен-

тально в 2012 г. (Experimental verification of Landauer’s principle linking information and thermodynamics / A. Berut, A. Arakelyan, et al // Nature. – Vol. 483. – Р. 187).

2.10. Распределение тепловой энергии по степеням свободы

Равновесный газ с фиксированными V , N, T обменивается энерги-

ей с термостатом. Микросостояния газа имеют разные энергии, энергия частицы меняется с течением времени. Макросостояние не зависит от времени, средняя тепловая энергия частицы газа постоянна, зависит от температуры, от числа степеней свободы частицы и от ее гамильтониана. Если степени

свободы частицы входят в гамильтониан симметрично, то на каждую степень свободы приходится одинаковая тепловая энергия, пропорциональная температуре. Теорему предложил Дж. Уотерстон в 1845 г., количе-

Джон Джеймс ственное выражение дали Дж. Максвелл в 1860 г. Уотерстон (1811–1883) и Л. Больцман в 1868 г. Теорема не применима

для квантовых систем.

Используя гамильтониан, найдем средние значения кинетической, потенциальной и полной энергий частицы, обусловленные тепловой энергией.

Гамильтониан. Рассмотрим гамильтониан частицы с f степенями свободы и со степенными зависимостями от модулей проекций импульсов и проекций координат

где α ≤ f – число активизированных степеней свободы с кинетической энергией εкин,i и с импульсами в пределах −∞ < pi < ∞ ; β ≤ f –

106

2.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

число активизированных степеней свободы с потенциальной энергией εпот, j и с координатами в пределах 0 < q j < ∞ ; ai , bj > 0 .

Средняя энергия частицы складывается из кинетических и потенциальных составляющих вдоль ортогональных осей. Среднюю полную энергию получаем из (2.94)

с гамильтонианом (2.103) является произведением независимых интегралов для каждой активизированной степени свободы

Z1 = h1f ∏i Ki ∏j Pj ,

где кинетическая и потенциальная составляющие статистического интеграла

107

Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ln Z1 = ∑lnKi + ∑lnPj − f ln h ,

i j

из (2.104) находим

∑i εкин,i + ∑j εпот, j = kT 2 ∑i ∂∂T lnKi + ∑j ∂∂T lnPj .

Разделяем вклады степеней свободы и видов энергии:

получаем

εкин,i = ai | pi |s = 1s kT , εпот, j = bj qtj = 1t kT .

Величины εкин,i и εпот, j не зависят от i и j, следовательно, выполняет-

ся теорема о равном распределении тепловой энергии по активизированным степеням свободы. С учетом всех степеней свободы находим

β

εпот = ∑εпот, j = β εпот, j , j=1

108

2.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

α

εкин = ∑εкин,i = α εкин,i .

i=1

Врезультате средние значения потенциальной, кинетической и

полной энергий частицы пропорциональны температуре

Газ в ограниченном объеме. Если координата ограничена 0 ≤ q j ≤ q j,1 , то потенциальная составляющая (2.105) статистического

интеграла частицы

q j,1 t

Pj = ∫ e−bjq j /kT dq j .

0

Результат εпот, j = kT / t из (2.107) не применим, выражение

εкин,i = kT / s можно использовать, если −∞ < pi < ∞ .

Рассмотрим газ в сосуде размером A по оси j, вдоль которой действует однородное потенциальное поле εпот, j = bx , например, электри-

ческое или гравитационное. Тогда q j,1 = A > 0 , и получаем

Из (2.106) находим среднюю потенциальную энергию частицы при температуре Т

Тепловое движение разбрасывает частицы газа равномерно по всему объему. Этому противостоит внешнее поле, действующее с силой

Fx = −dεпот, j / dx = −b , направленной при b > 0 в сторону уменьшения координаты x.

109