Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Квант.мех. СГФ / 2014_krasnop.pdf

Скачиваний:

245

Добавлен:

11.03.2016

Размер:

4.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ

Для частицы с законом дисперсии ε = spt +u , где s, t и u – веще-

ственные числа; p – модуль импульса, из (2.10) или из (2.11) при ε ≥ u получаем

∆X1	(ε,Vf ) =		2πf /2 Vf	[(ε−u) / s] f /t .	(2.12)

		f	Г( f /2) h f

В частности, для ε = p2 / 2m +u

=1:

∆X1(ε, L) = 2L [2m(ε−u)]1/2

2 p ;

(2.13)

= 2 :

∆X1(ε, S) = 2πS m(ε−u) =

πp2 ;

(2.14)

f = 3: ∆X1

(ε,V ) = 4πV

[2m(ε−u)]3/2

4 πp3

(2.15)

3h3

где V1 = L , V2 = S , V3 =V – длина, площадь и объем, занятые одно-

мерным, двухмерным и трехмерным газом соответственно. В (2.13) множитель 2 учитывает два направления импульса одномерного движения.

2.3. Энергетическая плотность состояний

Набор возможных значений энергии системы называется энергетическим спектром. Газ в ограниченном объеме имеет дискретный спектр, зависящий в общем случае от координат, от объема и от соотношения между энергией и импульсом частицы. На рис. 2.2 показан

пример энергетического спектра. При мак-					E
роскопическом	объеме	газа	расстояние
между уровнями мало и спектр квазинепре-



рывный. Для характеристики спектра				∆E=1	E	g(E)
рывный. Для характеристики спектра
используем энергетическую			плотность
используем энергетическую			плотность
уровней g(E)	– число уровней в единич-
уровней g(E)	– число уровней в единич-
ном интервале энергии. В кла			ссической
физике каждый уровень энергии соответ-
физике каждый уровень энергии соответ-				Рис. 2.2. Спектр энергии
ствует определенному		микросостоянию.		Рис. 2.2. Спектр энергии

Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выразим энергетическую плотность спектра через распределение микросостояний по фазовому пространству.

Энергетическая плотность состояний газа. Для газа с чис-

лом частиц N в объеме Vf с энергией H (X ) = E микросостояния

находятся в фазовом пространстве на замкнутой гиперповерхности. Число микросостояний внутри гиперповерхности ∆X N (E,Vf ) . При

увеличении энергии на dE гиперповерхность сдвигается, объем фазового пространства внутри нее возрастает, число микросостояний увеличивается на

d∆X N = gN (E,Vf ) dE ,

(2.16)

где энергетическая плотность спектра состояний равна увеличе-

нию числа микросостояний при возрастании энергии на единицу

gN (E,Vf ) =		∂∆X N (E,Vf )	.	(2.17)
gN (E,Vf ) =		∂E	.	(2.17)
		∂E
Из (2.3) и (2.17) с учетом d H(E) / dE = δ(E) , где				δ(E) – дельта-
функция, находим
gN (E,Vf ) = ∫δ[E − H (X )] dX .				(2.18)
Число микросостояний внутри гиперповерхности H (X ) = E получаем
интегрированием (2.16)
	E
∆X N (E,Vf ) = ∫ gN (E′,Vf ) dE′.				(2.19)
	0

Значок Δ, использованный в формулах, может далее опускаться для упрощения записей.

Для дисперсии E −U = ( p2			+ p2 +...+ p2 ) / 2m , где				U = const , из
		1		2		n
(2.6) и (2.17) при E ≥U получаем
gN (E,Vf )	=	1			VfN	[2πm(E −U )] fN /2	.	(2.20)
		Γ( fN / 2)			h fN N !	E −U

Изменение числа микросостояний при вариации объема газа. Подставляем (2.18) в (2.19) и меняем порядок интегрирований:

2.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ

E E

∆X N (E,V ) = ∫dE′ ∫δ[E′− H (X )] dX = ∫dX ∫δ[H (X ) − E′] dE′ .

0 0

Варьируем объем газа при постоянной энергии. От объема зависит гамильтониан, тогда

∂

∂H

∂

∂V

∂V ∂H

∂∆X N

∂H

∂

′ ′

= ∫

∫

∂V

∂H

δ[H (X ) − E ] dE

В аргумент дельта-функции переменные H и E′ входят симметрично, заменяем ∂ / ∂H → −∂ / ∂E′, тогда

∂∆X

∂H

∂

∂H

= −∫

∫

δ(H − E′) dE′ = −∫

dX ∫d δ(H − E′) .

∂V

∂E′

∂V

На нижнем пределе внутреннего интеграла выполняется δ(H −0) = 0 ,

поскольку H ≠ 0. В результате при увеличении объема газа на единицу число микросостояний изменяется на

∂∆X		N		= −∫	∂H	δ[H (X ) − E]dX .	(2.21)
	∂V				∂V
			E

Энергетическая плотность состояний частицы. Получен-

ные соотношения для идеального газа применимы также к одной частице. Плотность состояний частицы равна числу состояний в единичном интервале энергии около значения ε

	g (ε,V		f	) =	∂X1(ε,Vf )	.	(2.22)

	1				∂ε

Число состояний (2.7) для частицы с законом дисперсии							ε = ε( p, q)
подставляем в (2.22), учитываем d H(ε) / dε = δ(ε) и получаем
g1	(ε,Vf ) =	1	∫δ[ε−ε( p, q)] d f p d f q .				(2.23)
		f
		h

Г л а в а 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для закона дисперсии ε = spt

+u(q) из (2.10) и (2.22) находим

g1(ε) =

2πf /2

∫

[ε−u(q)]−1+ f /t d f q .

(2.24)

t Γ( f / 2) h

f /t

u(q)≤ε

В частности, для дисперсии ε = p2 / 2m +u(r) из (2.24) получаем

f =1:

g1(ε) =

(2m)1/2

∫

ε−u(x)

u(x)≤ε

f = 2 :

g (ε) = 2π m S(ε) ,

f = 3:

g1(ε) = 2π

(2m)3/2

∫

d3r ,

(2.25)

ε−u(r)

u(r)≤ε

где S(ε) – площадь, ограниченная кривой u(r) = ε. В (2.25) для

f =1

множитель 2 учитывает два направления импульса.

Если энергия частицы ε = ε( p) не зависит от координат, тогда из (2.11) следует

g (ε,V	f	) =	Vf	dVp, f (ε)	.	(2.26)

1			h f	dε

Для ε = s pt +u , где s, t и u – вещественные числа, из (2.12) и (2.22) при ε ≥ u находим

(ε,V

) =

2πf /2

(ε−u)−1+ f /t .

(2.27)

t Г( f /2) h f s f /t

В частности, для ε = p2 / 2m +u из (2.27) или (2.25) получаем

= 2L ,

f =1:

g (ε, L) =

(2.28)

ε−u

f = 2 : g (S) =

2π

S m ,

(2.29)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 5612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции Квант.мех. СГФ

#
11.03.20164.25 Mб2452014_krasnop.pdf
#
11.03.201613.88 Mб243Квант. мех..pdf
#
11.03.20164.98 Mб96Квант.лекция 0.doc
#
11.03.20169.91 Mб140Квант.лекция 1.doc
#
11.03.20161.84 Mб131Квант.лекция 2.doc
#
11.03.20165.14 Mб121Квант.лекция 3.doc