Оператор поворота спина

Поворот состояния в пространстве вокруг единичного вектора n на угол α, отсчитываемый в направлении, описываемом правилом правого винта, осуществляет унитарный оператор (П.5.5)

,

где – оператор момента импульса.

Результат обобщаем на спиновое состояние

. (П.11.11)

С учетом (П.11.6б)

при выполняется

, . (П.11.12)

Из (П.11.11) с учетом формулы Эйлера, (П.11.12) и разложений

,

,

находим

. (П.11.13)

Операторы поворотов спина вокруг декартовых осей на угол α получают вид

,

,

. (П.11.13а)

В частности , где. Повороты спина электрона и управление спиновым состоянием осуществляется при помощи спинового магнитного резонанса.

СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ

Состояние множества независимых систем равно произведению состояний этих систем. Два электрона с полным спином S и проекцией описываются спиновой функцией. Рассмотрим явный виддля частных случаев.

Полный спин 1. Пусть спины электронов 1 и 2 направлены вдоль оси z

, .

Спины складываются как вектора, поэтому двухчастичное состояние имеет спиновые числа , и описывается функцией

. (П.11.14)

Для состояния ,аналогично получаем

. (П.11.15)

Проекция полного спина 0. Для состояния

проекции спина составляющих частиц имеют противоположные знаки

,

где , или. Найдем коэффициентыс₁ и с₂.

Для состояния с нулевым полным спином и нулевой проекцией

,

из (7.8) в виде

находим

,

тогда

,

,

.

Учитывая

,

получаем:

.

Оператор с верхним индексом 1 или 2 действует на функцию с тем же индексом. Используем

,

находим

и получаем

.

Уравнения

,

дают тот же результат. С учетом условия нормировки

находим

и получаем

. (П.11.16)

Спиновая функция двухчастичного состояния с полным спином антисимметрична при перестановке частиц.

Для единичного полного спина с нулевой проекцией

,

ищем состояние в виде

.

Коэффициенты находим из условия ортогональности состоянию

.

Учитывая (7.16)

,

,

и (П.11.16)

,

получаем

,

тогда

.

С учетом нормировки

находим

. (П.11.17)

Из (П.11.17) и из (П.11.14), (П.11.15)

,

следует, что спиновые функции двухчастичных состояний с полным спином симметричны при перестановке частиц.

Перепутанное состояние. Спиновые функции двухчастичных состояний (П.11.16) и (П.11.17) с суммарной проекцией спина обобщаем в виде

, (П.11.18)

где нормировки

выполняется при

, .

Если и,, то состояние двух электронов (П.11.18) не представимо в виде произведения функций одночастичных состояний и называетсяперепутанным состоянием частиц (entangled state). Термин использовал Шредингер в 1935 г. Не существует классического аналога перепутанного состояния.

Перепутанные частицы в состояниях (П.11.16), или (П.11.17), взаимно коррелированны. До измерения у каждой частицы нет определенной проекции спина, суммарная проекция равна нулю. Если у частицы 1 измерить проекцию на произвольное направление, то возможные результаты . Тогда у частицы 2, находящейся на любом расстоянии от частицы 1, состояние мгновенно изменяется – проекция на то же направление становится. Такое преобразование состояния частицы 2 без прямого воздействия на нее означаетнелокальность перепутанного состояния. Этот результат теоретически получили Эйнштейн, Подольский и Розен в 1935 г. и рассматривали его как парадокс, опровергающий квантовую механику. Неравенство, связывающее корреляции локальных частиц, получил Белл в 1966 г. Многочисленные экспериментальные проверки показали нарушение неравенства. Следовательно, перепутанное состояние нелокально.

Джон Стюарт Белл (1928–1990)

Меру перепутанности двух частиц квантовой системы в состоянии суперпозиции (П.11.18)

,

,

определяет параметр

, (П.11.19)

где и– вероятности реализации компонент состояния (П.11.18). Возможные значенияЕ находятся в интервале от 0 для не перепутанных частиц, до 1 при максимальном перепутывании. Меру (П.11.19) ввели C.H. Bennett и Schumacher B. в 1996 г. При из (П.11.19) получаем, у частиц 1 и 2 в состоянии (П.11.18) проекции спинов на любое направление полностью коррелированны – имеют противоположные знаки. При, или, из (П.11.19) находими перепутывание отсутствует, в (П.11.18) остается одно слагаемое, волновая функция факторизуется, проекции спинов частиц однозначные.

Перепутывание двух частиц возникает в результате их взаимодействия. Перепутывание по спину, или по координате, или по импульсу получают путем распада на две частицы системы, первоначально находящейся в определенном по этому параметру состоянии, когда закон сохранения не допускает изменения этого параметра. Перепутанность исчезает при необратимом процессе декогеренции, вызывающем нарушение фазовой согласованности между частицами. Это происходит при взаимодействии частиц с хаотическим окружением. Для предотвращения декогеренции систему нужно изолировать от окружающих тел и хаотически меняющихся полей посредством охлаждения, вакуумирования и экранирования. В сверхпроводнике куперовские пары электронов находятся в перепутанном состоянии при конечной температуре. Декогеренции препятствует энергетическая щель, отделяющая основное состояние системы от всех возбужденных состояний. Тепловой энергии при низкой температуре не хватает для возбуждения системы. Защищенность перепутанности и сверхпроводимости щелью не только препятствует тепловой декогеренции, но и вызывает эффект Мейснера, когда магнитное поле вытесняется на поверхность сверхпроводника.

Опыт с перепутанными по поляризации фотонами провел А.В. Белинский в 2002 г. Плоскополяризованное излучение лазера направляется на кристалл.

В результате явления нелинейной параметрической конверсии на выходе рождаются пары фотонов с полностью неопределенными, но взаимно перпендикулярными поляризациями, обозначенными точкой и стрелкой, регистрируемые соответственно детекторами a и b. Один фотон рассеивается в канал 1, другой – в канал 2. Состояние пары перепутано по типам поляризации. До регистрации частиц не существует определенной поляризации у каждого фотона пары. Регистратор сигнала в каждом канале содержит анализатор и детектор. В одном из каналов с вероятностью 1/2 срабатывает детектор a или b и определяется поляризация соответствующего фотона. В этот момент происходит редукция состояния – становится однозначным результат срабатывания детекторов в другом канале, на каком бы расстоянии эти детекторы ни находились. Показание каждого детектора не предопределено, но предопределена их корреляция. Эксперимент показал, что скорость передачи корреляции между перепутанными состояниями превышает скорость света в вакууме в 10⁴ раз. Каким образом результат регистрации одного фотона мгновенно становится известен второму фотону, если расстояние между ними произвольно велико? Согласно квантовой нелокальности, или квантовому дальнодействию, распространяющиеся в пространстве фотоны как отдельные частицы отсутствуют до момента их регистрации. Измерение не регистрирует существовавшее до него состояние, но создает физическую реальность. Проведенные эксперименты отвергают в квантовой области представление, сформированное классической физикой, что наблюдаемые свойства объекта не зависят от измерения.

Перепутанность проявляется в корреляции результатов измерений, проведенных в разных местах. Использовать перепутанное состояние для передачи сообщения с неограниченно большой скоростью невозможно. Препятствием является теорема о невозможности клонирования состояния – невозможно унитарным оператором скопировать неизвестное квантовое состояние, не изменив исходного состояния. В результате причинность не нарушается. Использование перепутанных состояний для передачи информации открывают новые технические возможности для шифровки, преобразования и контроля сообщений.

Функция перепутанного состояния (П.11.18)

с условием нормировки является суперпозицией

экспериментально различимых состояний

,

.

Кубит. Перепутанное двухэлектронное состояние Ψ или одноэлектронное спиновое нормированное состояние на сфере Блоха (П.11.7)

,

где ;, является квантовой единицей информации –кубитом (qubit от англ. quantum bit – «квантовый бит»). Термин ввел Бен Шумахер в 1995 г. В отличие от бита, принимающего значения 0 или 1, суперпозиция состояний Ψ несет значение 0 с вероятностью и значение 1 с вероятностью. Поэтому кубит содержит количество информации

в несопоставимо большем объеме, чем бит. Для реализации кубита используют:

двухуровневую квантовую систему;

две взаимно ортогональные поляризации фотона;

направления спина ядра в однородном магнитном поле.

Применяется также кудит (qudit) – перепутанное состояние трех и более уровней энергии. Кубиты и кудиты используются в квантовом компьютере. Его область применения связана с возможностью перебора большого числа вариантов и с моделированием многовариантных систем. К настоящему времени экспериментально реализован алгоритм Шора, позволяющий разложить большое число на простые множители, и алгоритм моделирования. Для обычного компьютера эти задачи не выполнима за разумное время. Преимуществом квантового компьютера является контекстуальность, то есть нелокальность квантового состояния, учет контекста в виде суперпозиции состояний, в которых измеряется бит. Контекстуальность дает возможность устранить частные ошибки и обеспечивает стабильность результата.

166