Микроканоническое распределение Основные понятия и определения

Объект – изолированный равновесный идеальный газ из N частиц в объеме V с полной энергией E.

Изолированная система – через границу системы не переходят частицы и энергия.

Равновесная система стационарна, ее макрохарактеристики не зависят от времени.

Идеальный газ – частицы независимы друг от друга, имеют малые размеры, не взаимодействуют на расстоянии. Связь между энергией газа и его микросостоянием описывает функция Гамильтона .

Для любых состояний микроканонического распределения выполняется

.

Распределение микросостояний по фазовому пространству

Система изолирована и энергия сохраняется

.

Фазовый ансамбль находится в фазовом пространстве на гиперповерхности постоянной энергии, все ее точки равноправны. Вне гиперповерхности микросостояния отсутствуют. Следовательно, вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства около точки X, или функция микроканонического распределения является дельта-функцией

. (2.7)

Плотность вероятности реализации микросостояний одинакова во всех точках гиперповерхности. Условие нормировки (2.4)

,

где

,

дает нормировочную постоянную

. (2.8)

Функцию выразим через энергетическую плотность состояний.

Энергетическая плотность состояний

Набор возможных значений энергии системы называется энергетическим спектром. Газ в ограниченном объеме имеет дискретный спектр, зависящий от величины объема и от соотношения между энергией и импульсом частицы. На рисунке показан пример энергетического спектра. При макроскопическом объеме газа расстояние между уровнями мало и спектр квазинепрерывный. Для характеристики спектра используем энергетическую плотность уровней – число уровней в единичном интервале энергии около значения E. Уровень энергии соответствует микросостоянию, тогда – энергетическая плотность микросостояний. Выразим энергетическую плотность через распределение микросостояний по фазовому пространству.

Микросостояния с энергией находятся в фазовом пространстве назамкнутой гиперповерхности. Число микросостояний внутри гиперповерхности равно безразмерному объему фазового пространства

. (2.9)

При увеличении энергии на гиперповерхность сдвигается, объем фазового пространства внутри нее возрастает, число микросостояний увеличивается на

. (2.10)

В результате энергетическая плотность состояний системы равна увеличению безразмерного фазового объема при возрастании энергии на единицу

. (2.11)

Приведенные соотношения применимы также к одной частице идеального газа. Значок Δ, использованный в (2.9) – (2.11), может далее упускаться для упрощения записей.

Пример энергетической плотности состояний

Найдем энергетическую плотность состояний гармонического осциллятора с частотой ω. Используем результат (П.2.4) для числа микросостояний с энергией ε

.

Из (2.11) при получаемплотность спектра состояний частицы

.

Энергетическая плотность состояний обратно пропорциональна частоте, не зависит от объема и энергии. Результат согласуется со спектром осциллятора (П.2.4а)

,

где – интервал эквидистантного спектра. Число уровней в единичном интервале энергии равно.