Ферми-поверхность металлов Na, Cu, Ca

Граница зоны Бриллюэна на рисунке имеет форму многогранника. Поверхность Ферми пересекает границу зоны Бриллюэна под прямым углом. Действительно, поверхность Ферми описывается уравнением . У границы зоны групповая скорость электрона равна нулю

.

Это уравнение геометрически означает, что перемещение по поверхности зоны происходит перпендикулярно изоэнергетической поверхности, то есть поверхности Ферми.

Внешнее электрическое поле E ускоряет электрон, он движется в импульсном пространстве, поверхность Ферми смещается. Рассеяние электронов на примесях и дефектах кристаллической решетки изменяет их импульсы. Электроны с максимальным импульсом перебрасываются в свободные ячейки импульсного пространства, находящиеся около поверхности Ферми. В результате внешнее электрическое поле не изменяет радиуса сферы Ферми , но сдвигает ее центр на p. Согласно второму закону Ньютона,

,

где – время релаксации импульса;l_F – длина свободного пробега электрона на уровне Ферми, движущегося со скоростью v_F. Вызванная полем плотность тока равна

,

где – удельная электропроводность.

Внутренняя энергия и давление трехмерного электронного газа. Используем

,

, ,

. (4.26)

Средняя энергия электрона

. (4.27)

При находим

,

. (4.28)

. (4.29)

где учтено (4.22)

.

Внутренняя энергия газа из N электронов при абсолютном нуле вызвана принципом Паули.

Из (4.29) получаем давление

. (4.30)

Давление электронного газа при абсолютном нуле температуры равно двум третям от внутренней энергии единицы объема, что совпадает с результатом для классического газа. Для золота

n = 5,910²² см^–3, P₀  10¹¹ Па  10⁶ атм.

Кроме металлов существуют другие объекты, где вырожденный газ фермионов определяет основные свойства вещества. Звезда белый карлик состоит из гелия плотностью ~10⁶ г/см³. Сильное гравитационное сжатие звезды отрывает атомные электроны от ядер и образуется электронный газ, давление которого противостоит сжатию. Масса такой звезды порядка массы Солнца, радиус порядка радиуса Земли. Расстояния между полностью ионизованными атомами d ~ 10^–2 Ǻ, что почти в 100 раз меньше расстояния между атомами в молекуле водорода. Концентрация электронов, энергия Ферми, температура Ферми, температура звезды равны

n ~ 10³⁰ см^–3, _F ~ 300 кэВ, T_F ~ 310⁹ К, T ~ 10⁷ К.

Выполняется , следовательно, электронный газ вырожденный.

При дальнейшем росте массы гравитация сжимает звезду, концентрация электронного газа увеличивается. Протоны атомных ядер захватывают электроны, превращаясь в нейтроны. Давление газа, противостоящее сжатию, резко уменьшается согласно (4.30)

,

из-за того, что масса нейтрона в ~2000 раз больше массы электрона. Гравитация рывком сжимает звезду. Она взрывается, оболочка сбрасывается, появляется сверхновая, или нейтронная звезда, излучающая несколько недель как целая галактика. Масса нейтронной звезды порядка массы Солнца, радиус, температура, концентрация и плотность равны

R ~ 20 км, T ~ 210⁶ К, n ~ 10³⁸ см^–3,  ~ 10¹⁴ г/см³.

У нейтронной звезды давление вырожденного газа нейтронов

превышает давление электронов у белого карлика за счет выросшей концентрации нейтронов. Это давление противостоит гравитации.

Сверхновые определенного спектрального типа близки по своим параметрам, поэтому используются астрономами как эталонные источники света. Этим методом обнаружено в 1998 г. ускоренное расширение Вселенной, происходящее вопреки силам гравитации. Явление объясняется влиянием темной энергии, которая равномерно заполняет Вселенную, содержит три четверти ее полной энергии, создает отрицательное давление и не имеет массы.