Электрон в периодической структуре

Одномерный кристалл состоит из N одинаковых потенциальных ям, расположенных на равных друг от друга на расстояниях. Если электрон находится на энергетическом уровне одной ямы, то при сближении ям он туннелирует между ямами. Это приводит к расщеплению каждого уровня одиночной ямы на N подуровней. Множество близко расположенных подуровней называется зоной – областью с характерными свойствами, например, зона проводимости, валентная зона. Основы зонной теории кристалла заложили Феликс Блох и Леон Бриллюэн в 1928 г. и Рудольф Пайерлс в 1930 г. Задачу о движении электрона в периодическом поле потенциальных ям или барьеров, моделирующих кристаллическую решетку, рассмотрели Ральф Крониг и Вильям Пенни в 1931 г.

Электрон в кристалле описывается как квазичастица. В отличие от электрона, на который действуют силы со стороны узлов решетки, для квазичастицы решетка не существует. Характеристиками квазичастицы являются: групповая скорость, квазиволновое число, квазиимпульс, эффективная масса, отличающаяся от массы свободного электрона. На квазичастицу действует только внешнее поле по отношению к решетке. Влияние кристалла учитывается эффективной массой и наличием энергетических зон у квазичастицы.

Рассмотрим изменение состояния связанного ямой электрона при сближении двух одинаковых потенциальных ям.

Расщепление уровня при сближении ям. Две δ-образные ямы находятся в точках и описываются потенциальными энергиями

,

где – безразмерный борновский параметр,d – параметр с размерностью длины. Частица в одиночной яме находится в связанном состоянии (П.3.15)

,

где – расстояние, на котором существенно убывает волновая функция. Энергия уровня (П.3.16)

,

показанная на рисунке пунктиром, не зависит от положения ямы.

Две ямы образуют симметричную систему, поэтому у системы ям существуют линейно независимые четное и нечетноесостояния. При большом расстоянии между ямами

пренебрегаем влиянием соседней ямы на волновую функцию электрона. Для двух ям получаем четную и нечетную суперпозиции

.

Ищем энергии четных и нечетных состояний

.

Интегрирование по участкам ,ис разными подынтегральными функциями дает

.

Экспоненциальный множитель описывает туннельный переход частицы между ямами. В результате переходов уровень одиночной ямы расщепляетсяна уровень четного состояния и уровень нечетного состояния, причем

.

Четный уровень расположен ниже нечетного и является основным состоянием, степень расщепления уровней

возрастает при сближении ям. Благодаря туннельному эффекту частица с течением времени периодически переходит между ямами с периодом

.

Для любого количества ям число расщепленных уровней равно числу ям системы.

Одномерная решетка имеет периодически расположенные узлы, являющиеся потенциальными ямами или барьерами для электрона. Рассмотрим неограниченную δ-образную решетку барьеров

,

где d – постоянная решетки;  – масса свободного электрона; β – безразмерный борновский параметр, определяющий силу барьера; – параметр с размерностью энергии.

Состояние электрона в решетке получаем из стационарного уравнения Шредингера (3.1)

,

где –волновое число. Вне точечных барьеров при уравнение имеет вид

.

На участках 1 и 2 получаем общие решения в виде бегущих в противоположные стороны волн

,

. (3.75)

Учтем периодичность потенциальной энергии.

Волна Блоха. Периодичность решетки означает, что состояние электрона является собственной функцией оператора трансляции, сдвигающего состояние на период решетки

. (3.75,а)

Используя явный вид оператора (2.45)

,

самостоятельно доказать, что собственное значение оператора

,

где Q – вещественное число. Собственной функцией является функция Блоха

(3.75,б)

в виде плоской волны с модулирующей периодической функцией

.

Согласно (3.75,б) электрон в решетке является бегущей волной с квазиволновым числом Q, в пределах каждого периода волна модулирована функцией . Выполняется

,

и электрон обнаруживается в пределах каждого периода решетки с одинаковым распределением плотности вероятности. Функцию ввел Блох в 1928 г.

Феликс Блох (1905–1983)

Из и (3.75,а)

получаем

, ,

или

.

С учетом (3.75)

находим

.

Дисперсионное соотношение связывает квазиволновое число Q с волновым числом и с энергией частицыE. Для его получения сшиваем ипри. Условие непрерывности функций (3.11)

дает

. (3.76)

Условие сшивания с δ-потенциалом (3.13)

, ,

с учетом

получает вид

.

Подстановка функций дает уравнение

. (3.77)

Систему уравнений (3.76) и (3.77) для неизвестных Q, изаписываем в канонической форме

,

. (3.78)

Находим Q из условия совместности системы уравнений. Определитель коэффициентов приравниваем нулю и получаем дисперсионное соотношение

, (3.79)

связывающее квазиволновое число Q с волновым числом

.

Проанализируем (3.79) и найдем допустимые значения волнового числа и энергии электрона в решетке.

Разрешенные и запрещенные зоны по волновому числу. Правая сторона (3.79) в виде функции с аргументом kd показана на рисунке сплошной кривой. Модуль левой стороны ограничен интервалом между пунктирными линиями, тогда и правая сторона (3.79) ограничена

. (3.80)

Области значений kd, удовлетворяющие (3.80), называются разрешенными зонами , и обозначены на горизонтальной оси отрезками толстых линий. Между ними находятсязапрещенные зоны. В результате спектр k и Е состоит из дискретного набора полос, спектр Q непрерывный.

Верхняя граница разрешенной зоны удовлетворяет

, ,,

тогда

, (3.81)

В точке согласно (3.79)

волновое число совпадает с квазиволновым числом

. (3.82)

Установим физический смысл верхней границы. Выражаем (3.81) через длину волны де Бройля , получаем

.

Результат совпадает с условием максимума отраженной волны Вульфа–Брегга (П.1.2)

для угла скольжения , т. е. при нормальном падении на кристалл. Следовательно,у верхней границы разрешенной зоны электрон испытывает брэгговское отражение и не распространяется по кристаллу. Интенсивности падающей и отраженнойволн сравниваются. Их интерференция создает стоячую волну.

Если при отражении фаза волны не меняется, то стоячая волна четная

,

.

При , гдеN – целое число, плотность вероятности , и электроны скапливаются вблизи ионов. Энергия электрического взаимодействия электрона с ионом

дает вклад в энергию кристалла. При сближении электрона с ионом уменьшается r, энергия кристалла понижается на по сравнению с равномерным распределением электронов.

Если при отражении фаза волны увеличивается на , то стоячая волна нечетная

,

,

электроны скапливаются между ионами, r увеличивается, энергия кристалла повышается на. Это состояние принадлежит следующей разрешенной зоне. Между ними находитсязапрещенная зона шириной .

Электрон как квазичастица. Свободный электрон характеризуется:

массой ,

волновым числом k,

импульсом ,

скоростью .

В кристалле электрон описывается волной Блоха (3.75,б)

.

На достаточно больших участках кристалла функция усредняется, бегущая волнарассматривается как свободная квазичастица с параметрами

эффективной массой m*,

квазиволновым числом Q,

квазиимпульсом ,

групповой скоростью V.

Если кристалл находится во внешнем поле, то импульс электрона изменяется под действием поля кристалла и внешнего поля. Квазиимпульс изменяется только внешним полем, в результате описание квазичастицы упрощается.

Зависимость энергии от квазиволнового числа. Рассмотрим частные значения степени непроницаемости барьера β.

1. Абсолютно свободный электрон соответствует прозрачному барьеру с . Дисперсионное соотношение

получает вид

,

.

Ограничение для k и Q отсутствует, спектр непрерывный (рис. 1)

.

Электрон обнаруживается в любой точке решетки с одинаковой вероятностью.

2. Абсолютно связанный электрон соответствует непроницаемому барьеру с . Дисперсионное соотношение

имеет смысл при

, ,

тогда

,

Решетка распадается на ямы шириной d с непроницаемыми стенками, спектр дискретный (рис. 2)

.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

3. Приближение сильной связи. Барьеры сильные, , это близко к случаю 2, тогда

, ,

,

.

Из (3.79)

получаем

,

откуда

.

Из с учетом, находим

,

где использовано разложение при. Подстановка результата в

дает зависимость энергии частицы в зоне n от квазиволнового числа

, (3.83)

где

.

Как показано на рисунке, разрешенная зона имеет непрерывный спектр в полосе, ширина которой увеличивается с ростом номера зоны как .

Энергетические зоны. На верхней границе разрешенной зоны выполняется (3.82)

.

Предыдущая зона заканчивается при

.

Тогда Qd в разрешенной зоне n меняется в пределах

.

Энергию верхней и нижней границ разрешенной зоны n получаем из (3.83)

.

С учетом находим

–верхняя граница зоны,

–нижняя граница зоны,

–ширина зоны. (3.84)

Чем больше сила барьера β, тем меньше ширина разрешенной зоны. При ширина зоны равна нулю и получается рассмотренный ранее случай 2.

График функции для первых двух зон показан на рисунке толстыми сплошными линиями. Верхняя граница зоныкасается параболы(ранее рассмотренный случай 1), показанной пунктиром, где выполняется.

Ширина запрещенной зоны, или энергетической щели

.

Появление щели объясняется тем, что при возникают два типа стоячих волн – четная ψ₊ и нечетная ψ_–. Уровень, соответствующий исходной бегущей волне, распадается на два уровня, принадлежащих соседним разрешенным зонам.

Первая зона Бриллюэна. С учетом периодичности замена

, ,

не меняет функцию (3.83)

.

Передвигаем левую и правую ветви зоны 2 на ±2π, соответственно. Результат показан толстой пунктирной кривой. Первая и вторая зоны, и аналогично другие зоны, попадают в интервал , называемыйпервой зоной Бриллюэна. Квазиволновое число и квазиимпульс достаточно рассматривать в пределах этой зоны. На краю зоны

, .

При d  310^–8 см энергия края зоны

близка к энергии Ферми электронного газа металла.

Кристалл конечной протяженности. Кристалл длиной L мысленно заменяем множеством идентичных соприкасающихся кристаллов. Тогда волновая функция электрона удовлетворяет периодическому условию Борна–Кармана (3.8)

.

На волну Блоха (3.75б)

накладываем условие периодичности и получаем

.

В результате

, N – целое.

Квазиволновое число квантуется для кристалла конечной протяженности L. При макроскопической протяженности шаг спектра мал

.

Разрешенная зона имеет квазинепрерывный спектр. При расстояние между уровнями.

Скорость квазичастицы является групповой скоростью волны и равна производная энергии по квазиимпульсу

.

Для свободного электрона , групповая скоростьсовпадает со скоростью частицы. Для квазичастицы используем (3.83)

,

получаем

. (3.85)

На краю зоны

, , ,

бегущая волна полностью отражается от кристаллической плоскости согласно формуле Вульфа–Брэгга, образуется стоячая волна, и энергия не перемещается по кристаллу.

В середине разрешенной зоны при скорость максимальна.

Эффективная масса. Из второго закона Ньютона

выражаем инертную массу как производную импульса по скорости

.

Для квазичастицы в зонеn эффективная масса

,

где учтено . Около минимума функции эффективная масса положительная, около максимума – отрицательная. Рост функции соответствует положительной массе, убывание – отрицательной.

Используем (3.85)

,

находим

. (3.86)

Для первой зоны

.

В середине первой зоны

,

где сила барьера β выражена через ширину разрешенной зоны на основании (3.84) .Эффективная масса в середине первой зоны обратно пропорциональна ширине зоны. У края зоны масса отрицательная

.

Если под действием внешней силы квазиимпульс электрона увеличивается, приближаясь к границе зоны, то резко усиливается отраженная волна. Импульс, приходящий к электрону от решетки, направлен против силы и имеет большую величину, поэтому ускорение направлено против силы и масса квазичастицы отрицательная.

Около нижней границы второй зоны выполняется из (3.86) получаем

.

Если внешняя сила увеличивает квазиимпульс и электрон удаляется от нижней границы второй зоны, то отраженная от решетки и идущая навстречу волна ослабевает, и электрон получает дополнительное ускорение в сторону силы. Поэтому масса квазичастицы положительная и меньшая . Для слабого барьера барьераэффективная масса гораздо меньше массы свободного электрона.

В полупроводниках , например, или, эффективная масса электрона на дне второй зоны существенно больше, чем на дне первой зоны. Подвижность электронов, обратно пропорциональная массе, оказывается меньшей во второй зоне, чем в первой. В результате переход электрона под действием внешнего возмущения в виде сильного электрического поля из первой зоны во вторую приводит к уменьшению силы тока. Это явление отрицательного дифференциального сопротивления лежит в основеэффекта Ганна (1963 г.), состоящего в генерации высокочастотного тока кристаллом при подаче на него постоянного напряжения.

Метод эффективной массы рассматривает электрон в кристалле и во внешнем поле как квазичастицу с эффективной массойm* в поле . Решетка кристалла учитывается через эффективную массу квазичастицы. Используем определения

,

.

При малом , т. е. около середины первой зоны, функцию энергии разлагаем в ряд Маклорена и оставляем первые три слагаемые. Получаем дисперсионное соотношение

.

Учитываем , выбираем начало отсчета энергиии получаем соотношение между энергией и импульсом

,

совпадающее с выражением для свободной частицы. Следовательно, для квазичастицы нет поля кристалла. В середине зоны Бриллюэна квазичастица описывается постоянной эффективной массой m*, импульсом и гамильтонианом

.

Стационарное уравнение Шредингера во внешнем полеимеет вид

. (3.87)

Рассмотрим отклонение от идеального кристалла, вызванное примесным атомом внедрения.