Одномерное рассеяние

Рассеяние – это изменение состояния частицы при взаимодействии с препятствием, например, c потенциальным барьером.

Частица массой μ с волновым числом k и энергией движется вдоль оси x и попадает в область барьера с потенциальной энергией . Исходное состояние частицы описывается плоской волной с единичной амплитудой. В результате взаимодействия с барьером возникают отраженная и проходящая волны. При одномерном рассеянии отраженная волна движется против оси x, проходящая – вдоль оси x. Рассеянные волны отличаются амплитудами и фазами. Требуется найти эти величины и вычислить коэффициенты отражения и прохождения через барьер.

Рассеянные волны и их токи вероятности. На больших расстояниях от барьера используем стационарное уравнение Шредингера (3.2)

,

где волновые числа до и после рассеяния

.

Частные решения уравнения:

падающая волна (in)

, (3.62)

отраженная волна (ref) (от англ. reflection)

; (3.63)

проходящая волна (tr) (от англ. transmission)

. (3.64)

Амплитуды отражения и прохождения комплексные

, (3.64а)

поскольку при рассеянии волна получает фазовый сдвиг.

Из (2.72)

находим проекции плотности тока вероятности падающей, отраженной и проходящей волн

,

,

. (3.65)

В физическом эксперименте токи регистрируются детекторами.

Коэффициент отражения определяется отношением модулей токов отраженной и падающей волн

, (3.66)

где – вероятность падения частицы на барьер;– вероятность отражения. В (3.66) учтены (3.65), (3.62) и (3.63)

, ,

,.

В результате

. (3.67)

Коэффициент прохождения определяется в виде

, (3.68)

тогда

, (3.69)

где вероятность прохождения

.

Условие унитарности. Из уравнения непрерывности тока вероятности

, (2.73)

с учетом того, что на границе барьере частицы не рождаются и не накапливаются, получаем

,

тогда

.

Следовательно, сумма модулей подходящих к барьеру токов вероятности равна сумме модулей уходящих токов

– аналог первого правила Кирхгофа. Для проекций токов получаем

. (3.70)

Используя (3.67) и (3.69)

, ,

получаем условие унитарности, от лат. unítas – «одно целое»:

, (3.72)

– сумма вероятностей всех возможных процессов в системе, т. е. отражения и прохождения, равна единице.

Туннельный эффект

Если полная энергия частицы меньше потенциальной энергии барьера, то классическая частица не проходит через барьер. В квантовой механике частица имеет вероятность пройти барьер. Явление называется туннельным эффектом. Его описал Гамов в 1928 г. и объяснил парадокс, связанный с α-распадом ядра урана на ядро тория и альфа-частицу

.

Два протона и два нейтрона ядра урана объединяются в кластер и образуют α-частицу с энергией 4,18 МэВ. Задерживающий потенциал ядра урана составляет 8,57 МэВ. Тем не менее, α-частица имеет вероятность выхода из ядра благодаря туннельному эффекту и ядро распадается за время полураспада . Причина распада в том, что волновая функция не равна нулю в области не доступной для классической частицы. Термин «туннельный эффект» ввел Вальтер Шоттки в 1931 г.

Георгий Антонович Гамов

(1904–1968)

Туннельный эффект лежит в основе множества явлений квантовой механики. На его основе работают туннельный микроскоп и туннельный транзистор. Опишем эффект, используя метод ВКБ.

Движение частицы через барьер. Частица с энергией в виде бегущей волны

движется вдоль оси x к барьеру , превышающему ее полную энергию

, ,

где и– точки остановки классической частицы.

Возникает отраженная волна

.

Внутри барьера используем приближение ВКБ (3.60) в виде затухающей волны

.

За барьером возникает бегущая волна

.

Коэффициент прохождения барьера получаем из (3.68)

.

При находим

,

где в случае малости отраженной волны учтены условия сшивания (3.11)

, .

Используем

,

.

Из

находим

,

.

С точностью до слабо меняющегося и близкого к единице предэкспоненциального множителя из

получаем формулу Гамова

. (3.73)

Для прямоугольного барьера шириной и высотойиз (3.73) находим

, (3.73а)

где – работа выхода;– коэффициент затухания волны. Проницаемость барьера существенна при, тогда, и это ограничивает ширину барьера, проницаемого для частицы массой μ с энергиейE

. (3.74)

Чем меньше масса частицы, тем более широкий и высокий барьер она преодолевает. Массы электрона и протона отличаются в 1840 раз, тогда коэффициенты прохождения с одинаковой энергией через один и тот же барьер согласно (3.73а) различаются в раз. Для макроскопического тела туннельный эффект не проявляется.

Объяснение туннельного эффекта. Используем соотношение неопределенностей между импульсом и координатой

.

Если частица обнаруживается внутри барьера шириной l, то , и частица получает случайное возмущение импульса

.

Это изменяет ее кинетическую энергию на величину

.

Если энергия добавляется

,

то частица преодолевает барьер протяженностью (3.74).

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ) измеряет микрорельеф поверхности проводящего предмета с помощью туннельного эффекта. Работа СТМ основана на сильной зависимости туннельного тока от ширины барьера. Игла из платины, вольфрама или иридия с атомарным острием подводится к поверхности сначала двигателем грубого перемещения, затем пьезосканером на расстояние ≤ 1 нм, которое контролируется с высокой точностью по величине туннельного тока. На иглу подается потенциал (0,01–10)В по отношению к поверхности. Туннельный ток I через вакуумный промежуток размером l пропорционален коэффициенту прохождения (3.73а)

и экспоненциально зависит от l. При ток. Перемещение иглы наменяет ток в 10 раз. Игла периодически передвигается вдоль поверхности. Ток поддерживается на одном уровне за счет перемещения иглы перпендикулярно поверхности. Регистрируемые перемещения иглы дают рельеф поверхности. При использовании высокого вакуума и низких температур достигается разрешение по нормали к поверхности ~0,005нм, в плоскости ~0,2нм. Изменение расстояния на 0,1нм изменяет туннельный ток на порядок. Наблюдаются отдельные атомы. Атом водорода в основном состоянии имеет размер ~0,1нм. Фактически СТМ отображает рельеф плотности электронных состояний на поверхности объекта. Малая величина используемого потенциала не разрушает объект. СТМ может работать при нормальной температуре на воздухе, что снижает разрешение до ~1нм, но требует изоляции от вибраций. СТМ разработали в 1981 г. Герд Биннинг (на фото слева) и Генрих Рорер (справа). На фото перед ними находится СТМ. Они получили Нобелевскую премию в 1986 г.

1– пьезо-сканер; 2 – игла; 3 – исследуемый образец;

4 – изображение на дисплее; 5 – электронное управление.

Поверхность Si(111)

(размытость изображения вызвана тепловыми флуктуациями)

Поверхность Cu(111)

Игла СТМ позволяет измерить потенциал точки поверхности проводника со сложной структурой и протекающим током.

При помощи СТМ измеряется распределение тока, протекающего между двумя контактами в плоскости двумерного проводника. Отрицательный потенциал иглы, касающейся проводника в точке , рассеивает упорядоченно движущиеся электроны, и проводимость проводникауменьшается тем сильнее, чем больше была плотность тока в изучаемой точке. Распределение изменений проводимости

,

где – проводимость без касания иглы, дает распределение тока по проводнику.

СТМ измеряет также энергетическую плотность состояний поверхности проводника путем вариации приложенного к игле напряжения. Теория метода будет рассмотрена в конце семестра.

Повышение туннельного напряжения до ~10В позволяет достичь в области острия с атомарными размерами электрического поля напряженностью до ~10⁸В/см и плотности тока до ~10⁸А/см². Такое поле может оторвать атом, тогда его можно перенести на другое место. Это позволяет манипулировать атомами и молекулами с целью преобразования поверхности.