
- •Основы квантовой механики
- •Основные положения
- •Волновая функция
- •ОператорЫ
- •Собственные функции и собственные значения операторА
- •ЭрмитовыЙ оператор
- •Эрмитовость оператора импульса
- •УсЛовия ортонормированности
- •Среднее значение величины
- •СоотношениЕ неопределенностей
- •ОператорЫ трансляции и эволюции
- •Уравнение Шредингера
- •Быстрота Изменения величины
- •Ток вероятности
- •Матрица плотности
- •Физические следствия квантовой механики
- •Регистрация частицы
- •Корпускулярно-волновая двойственность
- •Перепутанные частицы
- •Экспериментальная реализация микроскопа Гейзенберга
- •Квантовое стирание
- •Квантовая нелокальность
- •Неравенство Белла
- •Изображение перепутанными фотонами
ОператорЫ трансляции и эволюции
Развитие состояния частицы во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения воспользуемся оператором эволюции, сдвигающим состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.
Оператор
трансляции
сдвигает состояние объекта на расстояниеа
.
(2.44)
Для
получения оператора
разлагаем
в ряд Тейлора поx
Производную по координате выражаем через оператор импульса
,
находим
,
где квадратная скобка является разложением в ряд экспоненты
.
В результате оператор трансляции
.
(2.45)
Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля
.
(2.46)
Определению удовлетворяет
.
Сравнение с (2.45) дает
.
(2.47)
Генератором перемещения является импульс.
Полученные результаты обобщим на смещение во времени.
Оператор
эволюции
передвигает состояние во времени на τ
.
(2.49)
По аналогии с (2.45)
записываем
.
(2.50)
Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)
.
В результате (2.49) получает вид
,
(2.50а)
где
.
Генератор эволюции
(2.51)
сравниваем с генератором трансляции (2.46)
и по аналогии с (2.47)
получаем
,
в полной запаси
.
(2.52)
Для
установления физического смысла
рассмотрим его действие на волну де
Бройля
,
описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем уравнение
на
собственную функцию оператора
,
где собственным значением является
полная энергия. Следовательно,
генератором эволюции
является оператор полной энергии, или
гамильтониан.
Уравнение Шредингера
Волновая
функция
частицы, описываемой гамильтонианом
,
находится путем решенияволнового
уравнения Шредингера,
которое получил Шрёдингер в 1926 г.
Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов квантовой теории при больших значениях квантовых чисел с результатами классической теории.
Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:
.
Переходим к операторам
,
,
,
где
–оператор
градиента,
–оператор
Лапласа.
Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона
.
(2.53)
Волновое уравнение Шредингера. Из (2.52)
и
(2.53) получаем для
уравнение
.
(2.54)
Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени
,
то
полная энергия E
сохраняется, состояние системы
стационарное и характеризуется параметром
Е.
В уравнении (2.54) при
слагаемые с координатами и временем
разделены, поэтому решение ищем в виде
произведения независимых функций от
разных аргументов
.
(2.55)
Подставляем
(2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на
,
переменные разделяются
.
Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому обе стороны равны одной и той же постоянной, которую обозначим Е и далее установим ее физический смысл.
В уравнении
разделяем переменные
,
интегрируем и находим
.
(2.56)
Для
получаемстационарное
уравнение Шредингера
.
(2.57)
Уравнение
(2.57) с учетом
является уравнением на собственную
функцию оператора гамильтона
,
(2.58)
следовательно,
Е
– полная энергия. Если система одномерная,
то (2.57) для
получает вид
.
(2.59)
Уравнения
(2.57) и (2.59) позволяют найти допустимые
значения энергии E
и соответствующие комплексные
нормированные функции состояний
,
если заданы граничные условия.
Стационарное состояние
(2.60)
периодически
зависит от времени как
с частотой, пропорциональной энергии:
.
(2.61)
Для
свободной частицы при
получаем
,
и находим зависимость частоты от волнового числа – закон дисперсии
.
(2.61а)
Координатная часть комплексной волновой функции стационарного состояния выражается в общем случае через вещественные функции – амплитуду A и фазу β
.
(2.63)
Плотность вероятности равна квадрату амплитуды
.