Среднее значение величины

Собственные функции эрмитового оператора образуют ортонормированный базис. Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций, то физическая величинаA не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.

Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:

для дискретного спектра

, (2.23)

для непрерывного спектра

, (2.24)

где – комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения является амплитудой вероятности обнаружения состоянияв исследуемом состоянии Ψ, а вероятность обнаружения равна .

Коэффициенты разложения . Умножаемна (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем

,

для непрерывного спектра

.

Заменяем , и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения

. (2.25)

Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектраподставляем в условие нормировки функции состоянияи получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий

,

получаем

. (2.26)

Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью обнаруживается в эксперименте значениедискретной физической величиныA для частицы в состоянии , где– собственное значение операторас собственной функцией.

Для непрерывного спектра разложение

подставляем в условие нормировки функции состояния

,

учитываем ортонормированность (2.22)

,

получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий

,

получаем

. (2.27)

Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения. С вероятностью в единичном интервале измененияn обнаруживается в эксперименте значение непрерывной физической величиныA для частицы в состоянии , где– собственное значение операторас собственной функцией.

Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянииравно

, (2.28)

если состояние нормировано

.

Доказательство для величины A с дискретным спектром:

Состояние разлагаем по собственным функциямоператора

.

Разложение подставляем в (2.28), учитываем

,

,

,

получаем

.

Результат совпадает с определением среднего в теории вероятности дискретной величины

.

Следовательно, измерение проектирует состояние частицы Ψ на орты базиса ,проекцией является амплитуда вероятности . В результате возмущающего воздействия измерительного устройства на микрочастицу происходит необратимое изменение ее состояния, частица оказывается в состояниис вероятностью. При этом изменяется состояние макроскопического измерительного устройства, оно регистрирует у частицы значение физической величины A.

Для непрерывной величины A аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение для среднего

.