ОператорЫ

Физическая величина A (координата, импульс, энергия и другие) описывается линейным оператором . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора всегда находится функция, на которую он действует.

Далее будет обоснован явный вид операторов координаты и импульса в координатном представлении, когда волновая функция есть функция координат и времени

.

Оператор проекции координаты

, . (2.1)

Действие оператора сводится к умножению функции на соответствующую координату.

Оператор проекции импульса

, . (2.2)

Действие оператора сводится к дифференцированию функции по координате и умножению на .

Свойства линейных операторов:

1. Умножение на число с

. (2.3)

Число выносится из под знака действия оператора.

2. Линейность

, (2.4)

где и – числа. Действие оператора на сумму функций равно сумме действий оператора на каждую функцию.

3. Сложение (вычитание) операторов

. (2.5)

Действие суммы операторов равно сумме действий каждого оператора.

4. Умножение оператора на оператор

. (2.6)

Вначале действует ближайший к функции оператор, затем на полученную функцию действует оператор, находящийся левее. Перемножаемые операторы в общем случае не перестановочны, например:

,

.

Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов, определяется разностью их действий в прямом и обратном порядках

.

Операторы икоммутируют, если . Оператор коммутирует сам с собой, например:

, .

Физические величины, описываемые взаимно коммутирующими операторами, измеримы одновременно с неограниченной точностью.

Операторы не коммутируют, если , например

. (2.7)

Физические величины, описываемые взаимно некоммутирующими операторами, не измеримы одновременно с неограниченной точностью.

Собственные функции и собственные значения операторА

Собственная функция оператораопределяется уравнением

, (2.8)

где –собственное значение оператора для функции . Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величиныA, описываемой оператором , дает однозначный результат. Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.

Спектр оператора – это множество его собственных значений . Еслисчетное, тоспектр дискретный. Если образует непрерывный набор, тоспектр непрерывный. Возможен смешанный спектр ­­– в одной области собственных значений один тип, в примыкающей области другой тип спектра.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.

Множество собственных функций оператораобразует полный ортонормированный базис. Произвольное состояние частицы Ψ разлагается по этому базису

.

Как показано далее, коэффициент разложения является амплитудой вероятности, тогда– вероятность результатапри измерении величиныA в состоянии Ψ. Измерение проектирует состояние Ψ на орты базиса ,проекция является амплитудой вероятности результата.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть и– взаимно коммутирующие операторы,– собственная функция, тогда

.

Действуем оператором на обе стороны равенства

.

Учитываем коммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно, – собственная функцияс собственным значением, поэтому она пропорциональная

.

Полученное равенство означает, что – собственная функция не только для, но и дляс собственным значением.

Собственная функция оператора проекции координаты

.

Пусть – собственная функция с собственным значением, тогда

Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. Приравниваем правые стороны

.

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Полученная функция равна нулю во всех точках, кроме , гдеx₀ – любое вещественное число, поэтому спектр x₀ непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается только в точке с координатой x₀. В результате обоснована форма оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Отсюда , тогдасобственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x₀, есть

. (2.9)

Множество функций со всеми возможными собственными значениямиобразует базис с условиями ортонормированности и полноты

,

. (2.9а)

Первое равенство (2.9а) называется условием ортонормированности базиса функций с непрерывным спектром. Второе равенство называетсяусловием полноты базиса , означающим, что произвольная функция координат разлагается по этому базису.

Собственная функция оператора проекции импульса

.

Уравнение на собственную функцию дает

Приравниваем правые стороны и получаем дифференциальное уравнение

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающей частицу с постоянным импульсом p. В результате обоснована форма оператора импульса.

Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

дает

.

Используем интегральное представление дельта-функции

,

находим . В результате полученасобственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p:

. (2.10)

Множество функций со всеми возможными собственными значениямиобразует базис с условиями ортонормированности и полноты

,

. (2.10а)