Квантовая статистическая физика

Квантовая статистическая физика изучает системы из большого числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики:

электронный газ металла;

электроны и дырки в полупроводнике;

электромагнитное тепловое излучение в полости;

фононы в кристалле;

газ атомов при низкой температуре.

Учитываются квантовые свойства:

дискретность спектра энергии пространственно ограниченной

системы;

вырождение состояний по энергии благодаря спину;

тождественность микрочастиц;

принцип запрета Паули для фермионов.

Рассматриваются системы из множества частиц одинаковой природы, образующие идеальный газ и удовлетворяющие условиям:

объем газа гораздо больше объема частиц;

частицы двигаются независимо друг от друга;

частицы не взаимодействуют между собой на расстоянии.

Физические свойства многочастичной системы определяются распределением частиц по энергии.

Идеальный газ состоит из одинаковых независимых частиц. Состояние каждой частицы определено во всем объеме сосуда. Поэтому энергетический спектр частиц одинаков, определяется объемом газа и соотношением между энергией и импульсом частицы. При отсутствии магнитного поля энергия не зависит от проекции спина, тогда уровню энергии соответствует число состояний, равное кратности вырождения уровня и определяемое спином частицы. Спектр состояний характеризуется энергетической плотностью состояний.

Физические характеристики системы зависят от среднего числа частиц в некотором интервале энергии. Для его получения функция распределения по состояниям умножается на энергетическую плотность состояний, результаты суммируются по интервалу энергии. При фиксированных объеме, числе частиц и температуре газа ()распределение по состояниям, или среднее число частиц в одном состоянии, зависит от рода газа – фермионного или бозонного, от энергии состояния и от температуры газа. Рассмотрим по отдельности каждую из этих характеристик.

Энергетическая плотность состояний частицы

Энергетический спектр частицы зависит от гамильтониана и области пространства, доступной для частицы. Чем больше объем пространства, тем меньше расстояние между уровнями энергии. Для всех частиц газа размеры доступного пространства одинаковые и спектры идентичные. При макроскопическом объеме спектр энергии частицы квазинепрерывный и характеризуется плотностью состояний – числом состояний в единичном интервале энергии

. (3.3)

Число состояний с энергией в интервале равно

. (3.3а)

Число частиц системы в интервале энергии равно произведению числа состоянийна среднее число частиц в одном состоянии

. (3.3б)

Энергетическую плотность состояний частицы выразим через объем фазового пространства, занятый состояниями, и кратность вырождения состояния.

Кратность вырождения. Одним из квантовых чисел, определяющих состояние частицы, является спиновое число s и его проекции числом . При отсутствии магнитного поля эти разные состояния имеют одинаковую энергию, тогда кратность вырождения

.

Для электрона и. Для фотонного газа, несмотря на спиновое число. Теория относительности запрещает для фотона, движущегося со скоростью света, направление спина перпендикулярное к скорости, тогда остаются проекции по- и против скорости.

Плотность состояний. Условие квантования Бора–Зоммерфельда

означает, что бесспиновое состояние частицы с одной степенью свободы занимает фазовый объем, равный постоянной Планка h. Состояние частицы с f степенями свободы занимает фазовый объем . Безразмерный элемент фазового объема частицы

равен числу состояний без учета спина. С учетом кратности вырождения находится число состояний

.

Из определения (3.3)

получаем плотность состояний частицы

, (3.4)

где – приращение объема фазового пространства при увеличении энергии на единицу.

Состояния частицы с полной энергией ε находятся в фазовом пространстве размерностью на замкнутой гиперповерхности. Она ограничивает объем

. (3.5)

При увеличении энергии фазовый объем возрастает и плотность состояний

. (3.5а)

При вычислении используется дисперсионное соотношение , связывающее полную энергию частицы с импульсом и координатой. Рассмотрим частные случаи.

Плотность состояний свободной частицы f-мерного газа. Если нет внешних сил, действующих на частицу, то ее энергия

не зависит от положения частицы в объеме газа . В (3.5а) интегрируем по координатам и получаем

,

где

– объем импульсного пространства, ограниченный гиперповерхностью с энергией ε.

Если энергия не зависит от направления импульса

,

то гиперповерхность является сферой. Объем шарового слоя находим из (П.2.2)

,

где dp и p – толщина и радиус слоя. В результате

. (3.5б)

В частности

;

;

. (3.5в)

Рассмотрим степенную зависимость полной энергии от модуля импульса

, (3.5г)

где s, t и u – вещественные числа; – кинетическая энергия. Из (3.5г) выражаем

,

,

.

Из (3.5б)

получаем

. (3.5д)

Плотность состояний определяется кинетической энергией частицы.

Квадратичная зависимость энергии от импульса

, (3.6)

где ;– декартовы проекции импульса, соответствует,. Из (3.5д) получаем

. (3.7)

В частности:

,

где – скорость частицы;

;

. (3.7а)

В двухмерной системе плотность состояний не зависит от энергии, поэтому спектр частицы эквидистантный.

Плотность состояний нерелятивистской частицы f-мерного газа во внешнем поле . Безразмерный объем фазового пространства (3.5)

ограничен гиперповерхностью с энергией

.

При фиксированном ε и гиперповерхность в импульсном пространстве является сферой радиусом

.

Интегрирование по импульсам дает объем шара (П.2.1)

.

Результат интегрируем по координатам области, ограниченной поверхностью ,и получаем

,

.

Из (3.4)

находим плотность состояний

. (3.7б)

В частности:

;

. (3.7в)

Для двухмерного газа результат совпадает с (3.7а)

.