Эффект Ааронова–Бома

Магнитное и электрическое поля выражаются через потенциалы

,

,

где

–потенциальное поле Кулона;

–вихревое поле Фарадея.

В области, где поля отсутствуют

, ,

потенциалы не равны нулю

,

заряд не подвергается силовому воздействию и не изменяет своего состояния согласно классической электродинамике, но меняется фаза волновой функции.

Бом и Ааронов показали в 1959 г., что фаза волновой функции заряда изменяется под действием скалярного и векторного потенциалов, даже в том случае, когда нет силового действия поля на частицу. Изменение фаза обнаруживается в интерференционных явлениях. Магнитный эффект Ааронова–Бома подтвердили экспериментально R.G. Chambers в 1960 г., A. Tonomura в 1982 г., электрический эффект – G. Matteucci и G. Pozzi в 1985 г. Влияние полей Е и В, не равных нулю только в области, где нет частицы, на ее состояние свидетельствует о нелокальности квантового состояния – оно присутствует во всем пространстве и реагирует на внешние воздействия, где бы они не создавались.

Фаза определяется полным импульсом. Найдем изменение фазы при движении заряда в магнитном и электрическом полях.

Якир Ааронов (1932) Дэвид Бом (1917–1992)

Полуклассическое описание. Заряд q движется перпендикулярно магнитному полю В. На круговой траектории выполняется условие квантования полного импульса (1.21)

. (7.35)

Заряд в однородном магнитном поле

Фаза волны де Бройля частицы, движущейся из точки в точку, равна

.

Из (7.35)

получаем, что при прохождении замкнутой траектории n фаза волны увеличивается на

.

Результат соответствует максимуму интерференции, волна усиливается, вероятность обнаружения частицы в точках траектории максимальна. Набранная фаза с учетом выражения для полного импульса состоит из двух слагаемых. Перемещение в пространстве дает вклад

,

магнитное поле меняет фазу на

. (7.36)

В последнем равенстве использована теорема Стокса – циркуляция векторного потенциала А по замкнутому контуру траектории n равна потоку вектора В через площадку , ограниченную контуром:

.

Для незамкнутой траектории между точками r₀ и r поток обобщается

,

где интеграл берется по участку траектории. Следовательно, при перемещении заряда из точки в точку изменение фазы за счет магнитного поля

. (7.37)

Это является эффектом Аронова–Бома, когда векторный потенциал изменяет фазу волновой функции заряда.

Соотношение (7.37) позволяет найти векторный потенциал, измеряя фазу волны в интерференционном эксперименте. Например, для участка сполучаем

,

и находим A. Следовательно, векторный потенциал измерим в квантовой механике. В классической электродинамике измерима лишь циркуляция векторного потенциала по замкнутому контуру, равная магнитному потоку

.

Магнитный эффект в квантовой механике. Рассмотрим плоский заряженный ротатор в виде заряда q, движущегося по кольцевому проводу вокруг бесконечно тонкого и длинного соленоида. Силовые линии магнитного поля сосредоточены внутри соленоида и рассеиваются на бесконечности. Вне соленоида на малом расстоянии по сравнению с его длиной поле и отсутствует силовое действие поля на заряд.

Магнитное поле предельно тонкого соленоида в цилиндрических координатах описываем в виде

,

где Ф – магнитный поток через поперечное сечение соленоида. Для доказательства вычисляем поток в полярных координатах , тогда

,

где использовано

, .

Плоский ротатор в поле соленоида

Для нахождения векторного потенциала соленоида применяем теорему Стокса

.

Для кругового контура L радиусом r используем осевую симметрию системы и находим циркуляцию A

.

В цилиндрических координатах находим

, , ,

, .

Векторный потенциал образует правый вихрь вокруг соленоида, как показано на рисунке.

Для стационарного состояния ротатора с зарядом q, с энергией E, находящегося в кольце радиусом r, используем уравнение Шрёдингера (7.18)

,

В полярных координатах (r,α) при используем

, .

Для получаем уравнение

, (7.38)

где

– число квантов магнитного потока через поперечное сечение соленоида. Решение ищем в виде

,

где обеспечивает периодичность по углу

.

Подстановка решения в уравнение (7.38) дает

,

тогда

.

Силовое действие поля на частицу отсутствует, поэтому спектр энергии не может отличаться от энергии плоского ротатора без соленоида

,

тогда . Волновая функция

содержит множитель , связанный с перемещением в пространстве, и вклад магнитного поля . Следовательно,магнитное поле изменяет фазу волновой функции на величину

,

что совпадает с результатом (7.37) полуклассической теории.

Электрический эффект. Произвольное стационарное состояние с полной энергией E имеет вид

Фаза волновой функции изменяется с течением времени пропорционально полной энергии

.

Заряд q, находящийся в электрическом поле с потенциалом , имеет потенциальную энергию. За время τ заряд набирает фазу

. (7.39)

Электрический потенциал изменяет фазу волновой функции.

Эксперимент. Электрон в виде волнового пакета испускается в т. A, проходит через отверстия экрана 1 и 2, и движется внутри проводящих цилиндров – цилиндров Фарадея, экранирующих внешнее электрическое поле Е. За время движения электрона внутри цилиндров поле между цилиндрами включается, поддерживается постоянным в течение времени τ, и затем отключается. На всех этапах силовое воздействие на электрон отсутствует, электрон получает только потенциальную энергию , определяемую потенциалом цилиндра, где .

Электрический эффект Аронова–Бома

Согласно (7.39)

на путях 1 и 2 набирается разность фаз

,

где – разность потенциалов цилиндров. Интерференция токов 1 и 2 создает максимальный общий токI при разности фаз

,

тогда

.

Напряжение между цилиндрами при максимальном токе

.

Изменение напряжения приводит к осцилляции тока и сопротивления цепи с периодом

, (7.40)

где τ – длительность включенного напряжения между цилиндрами. Эксперименты G. Matteucci и G. Pozzi, выполненные в 1985 г., подтвердили полученные результаты.