Центральносимметричные и осесимметричные стационарные системы

У трехмерной частицы в стационарном потенциальном поле гамильтониан складывается из кинетической и потенциальной энергий

. (5.1)

Среди трехмерных стационарных потенциальных полей выделяются поля, имеющие симметрию при вращениях вокруг некоторой точки – центрально симметричные системы, или вокруг некоторой оси – осесимметричные системы. Рассмотрим уравнение Шредингера и его решение в таких полях, и физические величины, характеризующие частицу.

Центральная симметрия системы означает, что в сферических координатах отсутствует угловая зависимость

,

поэтому выполняется

, .

Следовательно, в центрально-симметричной системе сохраняется вектор момента импульса частицы, и его значение характеризует состояние частицы.

Осевая симметрия означает, что в цилиндрических координатах отсутствует угловая зависимость

,

поэтому выполняется

, .

Следовательно, в осесимметричной системе сохраняется проекция момента импульса частицы на ось вращения.

Уравнение Шредингера упрощается в системе координат, симметрия которой совпадает с симметрией потенциальной энергии частицы. Состояние частицы характеризуется энергией и величинами, операторы которых коммутируют с гамильтонианом и между собой, то есть имеют общие собственные функции и сохраняющиеся собственные значения.

Уравнение Шредингера для центрально-симметричной системы

Если потенциальная энергия частицы имеет центр симметрии, т. е. при совмещении начала координат с этой точкой функция не зависит от направлений, тогда используем сферическую систему координат, в которой

.

Гамильтониан частицы

.

Оператор Лапласа согласно (4.8) и (4.9) имеет вид

,

где – оператор радиального импульса; – оператор квадрата момента импульса. В результате

. (5.7)

Гамильтониан частицы складывается из кинетической энергии радиального движения, кинетической энергии углового движения и потенциальной энергии.

Ищем операторы, коммутирующие с гамильтонианом и друг с другом. Тогда их собственные значения не изменяются с течением времени и являются характеристиками стационарного состояния частицы. Операторы икоммутируют между собой и со всеми слагаемыми гамильтониана

,

, ,

,.

В результате

, .

Тогда из (2.67)

для и получаем

, .

Квадрат момента импульса и проекция момента импульса сохраняются с течением времени и имеют определенные значения вместе с энергией. В результате центрально-симметричное состояние характеризуется собственными значениями операторов

, ,,

т. е. числами

Е, l, m,

тогда

.

Уравнение Шредингера с гамильтонианом (5.7) имеет вид

,

где согласно (4.9)

.

Угловое и радиальное движения в уравнении разделены, решение ищем в виде произведений независимых функций радиуса и углов

.

Решение подставляем в уравнение, умноженное на 2μr² и деленное слева на ψ. Слагаемые с радиальной переменной и с угловыми переменными переносим в разные стороны равенства. Тогда две стороны, выраженные через разные аргументы, не могут зависеть от этих переменных, и равны постоянной

, (5.8)

где введено безразмерное. В результате получены независимые уравнения для угловой функции и для радиальной функции .

Угловое уравнение

аналогично уравнению (4.14)

,

следовательно, , где, и – сферическая функция, тогда

. (5.9)

Радиальное уравнение. Из (5.8) с учетом для радиальной функции получаем

,

следовательно

.

Используем

,

находим

. (5.10)

Решение ищем в виде

. (5.11)

С учетом

получаем уравнение

, (5.12)

где

;

;

. (5.13)

Эффективная потенциальная энергия

складывается из потенциальной энергии внешнего поля

и из центробежной энергии отталкивания от оси вращения

.

Уравнение (5.12) аналогично одномерному уравнению Шредингера и к нему применимы использованные ранее методы решения.

Граничное условие. Конечность притребует выполнения

. (5.14)

Дискретный спектр состояний частицы ортонормирован

,

.