Лекция 2

Адаптивная обработка

сигналов

2012 / 13- й учебный год

Оптимальный

фильтр Винера

доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра систем сбора и обработки данных

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра систем сбора и обработки данных

Фильтр Винера

Цель лекции – рассмотрение фильтра Винера. Задача заключается в получении передаточной функции фильтра, обеспечивающего наилучшую по критерию минимума среднеквадратичной ошибки фильтрацию полезного сигнала, при воздействии на него аддитивного случайного шума. Адаптивные фильтры, являющиеся основным содержанием данного курса, можно рассматривать как приближенную, более простую для практики реализацию линейного оптимального фильтра Винера.

Задача впервые была решена независимо двумя учеными:

1. Советским математиком А. Колмогоровым, опубликовавшем решение в 1941 г. в статье «Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей», ж. Известия Академии Наук СССР, серия «Математика», № 5,1941 г.

2. Американским ученым – математиком Н. Винером, опубликовавшим результат в 1949 г. в статье «The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications», J. Wiley, New York, USA, 1949. Но сам результат был получен ранее в 1942 г. в отчете «MIT Radiation Laboratory Report».

Поэтому соответствующие оптимальные фильтры получили название фильтров Винера – Колмогорова. И такое название встречается во многих публикациях. Но чаще используется название «фильтры Винера». Видимо, причинами такой терминологии является то обстоятельство, что статья А. Колмогорова – это теоретическая работа ученого - математика. Для инженеров - практиков она оказалась мало доступной. Кроме того, русский язык менее распространен по сравнению с английским. Поэтому более широкую известность и понимание нашли результаты работы Н. Винера, хотя она была опубликована позже.

Общий вид фильтра Винера показан ниже на рис.

Опорный вход

n[k]

Задача состоит в фильтрации сигнала y(k), искаженного аддитивным шумом n1(k). На фильтр поступают два сигнала:x_k- (шум, помеха) иy_k - (сумма полезного сигнала и шума). При этом суммаy_kсодержит две составляющие – полезный сигналs(k),который не коррелирован сx_k и шумовую составляющуюn1(k),коррелированную (статистически взаимосвязанную) сx_k. Фильтр Винера должен иметь такую системную функцию (частотную характеристику), которая обеспечивает на выходе оценку коррелированной части сигнала (шума)y_k. Эта оценка вычитается из y_k и выход (ошибка) фильтраe_k – это наилучшая оценка полезного сигнала. Т.о., фильтр Винера обеспечивает оптимальную оценку полезного сигнала, смешанного с аддитивным шумом, по критерию минимума среднеквадратической ошибкиmin M{e²(k)}.Меньшее значение среднеквадратичной ошибки, чем в фильтре Винера, в любом линейном фильтре получить нельзя.

e(k) = y(k)-n(k) (выход)

Сигнал +шум

y(k)=s(k)+n1(k)