1.3. Примеры пространств сигналов Пространство

Элементами множества являются в общем случае комплексные функциизаданные на интервалеконечном или бесконечном. Будем считать, что функцииявляются функциями с интегрируемым квадратом

Этот интеграл обычно трактуется как энергия сигнала, если принять, что  это ток или напряжение на сопротивлении

При этом является пространством с ограниченной энергией. Все физические сигналы имеют конечную энергию.

В скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственно

Метрика называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение сигналаот

Условие ортогональности двух векторов ивзаписывается в виде

Обобщенный ряд Фурье (1.2.13) в принимает вид

где

есть коэффициенты Фурье по системе {_n}.

Пространство

Элементами множества являются последовательности чисел (в общем случае комплексные)удовлетворяющие условию

Такие последовательности называют также счётномерными векторами. В данном классе последовательностей вводят операции сложения векторов и умножения их на скаляр:

Скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственно

Эти соотношения определяют пространство которое можно рассматривать как координатную реализацию гильбертова пространства

Обратимся к формулам обобщенного ряда Фурье (1.2.13) – (1.2.16). Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между сигналом и совокупностью его коэффициентов Фурье. Сигнал является элементом пространстваа совокупность коэффициентов Фурье (счетномерный вектор) – элементом пространстваМежду пространствамииустанавливается изометрия, при которой сохраняется норма элементов пространстви(1.2.18).

Пространство

Ограничение размерности векторов до координат приводит к пространствукоторое является подпространством комплексного гильбертова пространстваХарактерно, что всуществуютлинейно независимых векторовЭтивекторов называют базисомN-мерного пространства.

Обобщенный ряд Фурье в пространстве с ортогональным базисомпринимает вид

где

Пример 1.3.1. В качестве базисной системы в рассмотрим дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ) (см. п. 1.7):

В этой формуле ипринимают целочисленные значения,т. е. число функций в системе равно числу отсчетов каждой функции. Вследствие этого, а также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной в пространстве

Функции (ДЭФ) ортогональны:

Поэтому ряд Фурье по этой системе

где коэффициенты Фурье

Соотношения и определяют пару дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое будет рассмотрено в главе 3. Отличительной особенностью ДПФ является то, что сигнал и его спектр определяются на конечных и равных интервалах Последовательностии– периодические (с периодом) функции дискретного аргумента. Это объясняетсяN-периодичностью базисных функций ДПФ по обоим аргументам. При этом меняется привычное понятие сдвига, а именно: сдвиг сигнала и его спектра на интервале понимается как циклическая перестановка отсчетов (часть сигнала или его спектра, выходящая за пределы интервалас одного конца, вставляется в этот интервал с другого конца). При циклическом сдвиге значения индексовk и n отсчитываются по модулю