Линейные пространства

Метрическое пространство является линейным, если в нём определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, в результате которых образуется новый вектор в том же пространстве. Эти операции должны удовлетворять известным аксиомам [13].

Важным является понятие линейно независимых векторов

Векторы называются линейно независимыми, если равенство

выполняется тогда и только тогда, когда все Путем линейных комбинаций такихлинейно независимых векторов можно образовать векторное пространствогде каждый векторсоответствует единственной линейной комбинации векторов:

Пространство называетсяN-мерным векторным линейным пространством. Множество линейно независимых векторовназывается базисом для.Говорят, что пространство натянуто на этом базисе. Совокупностьчисел {_n} называетсякоординатамиилиспектромвекторав этом базисе. Координаты вектора в общем случае могут быть комплексными.

Гильбертово пространство

Это пространство определяют следующим образом.

1. Задано линейное пространство

2. Для каждой пары исигналов извводится линейная операцияназываемаяскалярным произведением двух векторов, в результате которой образуется скаляр, а не вектор. Эта операция должна удовлетворять аксиомам:

но

причём тогда и только тогда, когдаЗдесь и далее звездочка означает комплексное сопряжение.

3. В существует счётное число линейно независимых векторов.

Нормаилидлина вектораопределяется как

В гильбертовом пространстве вводится угол между двумя векторами, косинус которого определяется через скалярное произведение:

Это соотношение используется для определения понятия ортогональных векторов. Векторыиназываются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. еслиПосколькуто

– неравенство Коши–Буняковского.

По определению гильбертова пространства в нем существует счетная система линейно независимых векторов, которые можно ортогонализировать, пользуясь известной процедурой Грама–Шмидта. Поэтому в гильбертовом пространстве существует счётная ортогональная система векторов образующихортогональный базис. В этом случае любой векторможет быть представлен в виде

где

Для ортонормированного базиса

Квадрат нормы называется энергией сигнала. Ряд называетсярядом Фурьепо базисуа коэффициентыc_nкоэффициентами Фурьесигнального вектора в этом базисе.

Аналогично для любых двух векторов иимеющих в ортонормированном базисеспектры {a_n} и {b_n} соответственно, справедливо равенство

При переходе к другому ортонормированному базису координаты a_nиb_nизменятся (станут исоответственно), однако скалярное произведение останется без изменения:

Это соотношение называется равенством Парсеваля.

За расстояние между векторами ив гильбертовом пространстве принимается длина разностного вектора:

Сигналы, принадлежащие гильбертову пространству, изображаются точками и векторами, идущими из начала координат в данную точку. Их можно складывать и умножать на числа. Можно рассматривать длину вектора, представляющего сигнал, как его норму, измерять расстояние между сигналами, вводить угол между векторами, изображающими сигналы.

Пример 1.2.1. Рассмотрим совокупность линейно независимых векторовПрактически всегда можно преобразовать эту совокупность в систему извзаимно перпендикулярных единичных векторовкоторая позволяет представить любой из векторовв виде

Чтобы найти такую координатную систему, воспользуемся известной процедурой Грама–Шмидта.

а) Пусть выбираемтаким образом, чтобы

б) Допустим, что выбираемтаким образом, чтобыНа основании этого вычисляем значениеДалее находится значениеиз условия нормирования.

в) Аналогично допустим, что Из условия ортогональности этого вектора обоим векторамиполучаем значенияи. Затем найдём значениеиз условия нормирования.

г) Продолжая эту процедуру, последовательно найдём ,и т. д.

Пример 1.2.2. Из равенств (1.2.9) и (1.2.19) следует