Спектр комплексной огибающей

Полосовой сигнал вида является действительной функцией времени, поэтому для его спектральной функции имеет место

причём

т. е. амплитудный спектр сигнала является чётной функцией частоты, а фазовый – нечётной функцией (рис. 1.12.1).

Преобразование Фурье комплексной огибающей этого сигнала

С учётом и теоремой смещения для преобразования Фурье имеем

Отсюда прямой и инверсный спектры сигнала будут

Рис. 1.12.4

Амплитудный спектр и фазовый спектркомплексной огибающейполосового сигнала изображёны на рис. 1.12.4. Можно отметить несимметричность амплитудного спектра комплексной огибающей на интервале.

Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта

Рассмотрим еще один распространенный способ комплексного представления действительных колебаний. Построим аналитический сигнал

у которого

т. е. вещественная часть равна исходному действительному сигналу, а спектр содержит только положительные частоты. Нетрудно видеть, что

где

Учитывая, чтоиз имеем

Свёртка

по определению есть преобразование Гильбертафункции

Таким образом, аналитический сигнал со спектром будет

где определяется из , т. е.

Из этого выражения вытекает ещё одна связь между спектрами:

из которой следует обратное преобразование Гильберта:

Замечание. Выражение под интегралом и имеет особую точку поэтому интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.

Некоторые свойства преобразования Гильберта

Отметим прежде всего свойство линейности этого интегрального преобразования, в чём легко можно убедиться непосредственно из и .

Выражению можно дать следующую интерпретацию:

преобразованный по Гильберту сигнал получается пропусканием исходного действительного сигнала через фильтр с импульсной характеристикой (с частотной характеристикой)

(рис. 1.12.5). Такой фильтр осуществляет задержку по фазе всех гармонических компонент сигнала в сторону отставания на 90.

Рис. 1.12.5. Преобразователь Гильберта

Действительно, легко проверить, что для имеема дляимеемСледовательно, если

то

Такие колебания называются сопряжёнными.

Для произвольных сигналов преобразователь Гильберта нереализуем, т. к. его импульсная характеристика не является каузальной. Однако его можно реализовать приближённо с некоторой задержкой если отбросить ветвилевее точкии правее точкии сдвинутьвправо наПогрешности преобразования, связанные с таким усечением импульсной характеристики, могут быть значительными. Кроме того, задержка сигнала надолжна быть учтена при работе преобразователя с другими устройствами. Нереализуемость преобразователя Гильберта объяснить можно также тем, что сдвиг фаз надля всех компонент сигнала практически не может быть выполнен точно. Для узкополосных радиосигналов такая операция выполняется тем точнее, чем уже полоса, т. е. чем сильнее неравенство

Из и имеем

Умножение наозначает перенос спектравправо на величинуПри достаточной узкополосности сигналбудет иметь односторонний спектр с положительными частотами и может рассматриваться как аналитический. Поэтому сопряжённый по Гильберту сигнал

Сравнивая выражения для ивидим, что преобразование Гильберта выполняется надиа квадратурные

компоненты иостаются неизменными.

Ядро преобразования Гильберта является нечётной функцией аргумента относительно точкиСледовательно, сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю:

Следствием этого является следующее важное свойство преобразования Гильберта: если сигнал достигает экстремума при каком-тото в окрестности этой точки сопряжённый сигналпроходит через нуль.

Возьмём спектр аналитического сигнала и сдвинем его так, чтобы он оказался сконцентрированным около нулевой частоты:

Этому спектру соответствует колебание

которое называется комплексной огибающейдействительного сигналаСледовательно:

и

Во многих случаях частоту выбрать нетрудно. Например, для узкополосного сигнала запринимается частота немодулированного несущего колебания. В этом случае

при достаточной узкополосности совпадает с

В других случаях выбирается так, чтобы минимизировать ширину полосы. Один из способов состоит в выборе“центра тяжести” положительной функцииТакоеминимизирует величинуРис. 1.12.6 поясняет взаимосвязь спектров действительного узкополосного колебания, аналитического сигнала и комплексной огибающей.

Рис. 1.12.6. Спектры

а – узкополосного сигнала; б – аналитического сигнала;

в – комплексной огибающей

Пример 1.12.1.Рассмотрим действительный низкочастотный сигнал со спектромпоказанным на рисунке. Соответствующий аналитический сигнал имеет спектр

поэтому

Отсюда

На рис. 1.12.7 приведены графики этих сигналов, нормированных по амплитуде. Следует отметить, что сопряжённый сигнал обращается в нуль в точке, где исходный сигнал достигает максимального значения.

Рис. 1.12.7. Исходный и сопряжённый сигналы