4. Случайные последовательности и лис-цепи

1. Стационарная случайная последовательность x[n] генерируется в соответствии с выражением

,

где [n] – белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Найдите следующие вероятностные характеристики последовательностиx[n]: математическое ожидание , дисперсию, корреляционную последовательностьr_x[k], спектральную плотность мощности .

2. Оптимальный одношаговый линейный предсказатель для последовательности x[n], определенной в предыдущей задаче, описывается уравнением . Найдите параметри дисперсию ошибки предсказания оптимального предсказателя. Найдите спектральную плотность мощности ошибки предсказания. Как будет изменяться ошибка предсказания при увеличении порядка линейного предсказателя?

3. Цифровая цепь описывается разностным уравнением

.

Как изменится математическое ожидание стационарного случайного процесса при прохождении через эту цепь?

4. Цифровая цепь описывается разностным уравнением

.

Найдите автокорреляционную функцию случайной последовательности на выходе цепи, при условии, что на ее вход воздействует стационарный белый шум.

5. Цифровая цепь описывается разностным уравнением

.

Найдите автокорреляционную функцию случайной последовательности на выходе цепи, при условии, что на ее вход воздействует стационарный белый шум.

6. Цифровая цепь описывается разностным уравнением

.

Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайной последовательности на выходе цепи при условии, что на ее вход воздействует последовательность независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

7. Может ли для оценивания текущей дисперсии стационарной случайной последовательности x[n] с нулевым средним использоваться выражение

?

Если да, то как?

8. Сигнал, передаваемый по каналу связи, подвергается воздействию помехи в соответствии с моделью

,

где – наблюдаемая последовательность;– полезный сигнал (стационарная в широком смысле случайная последовательность с нулевым средним и известной АКП);– стационарный белый шум с нулевым средним. Для подавления шума используется цифровой трансверсальный фильтр первого порядка, процесс на выходе которого обозначен. Определите параметры фильтра так, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата ошибки между передаваемыми принимаемымсигналами.

9. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайной последовательности, определенной выражением

,

где – независимые случайные величины, распределенные равномерно в интервале.

10. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайной последовательности, определенной выражением

,

где ,– независимые случайные величины;– белый шумс нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Случайная величинараспределена равномерно в интервале.

11. Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайной последовательности, определенной выражением

,

где ,– некоррелированные стационарные случайные последовательности с известными АКП,– дискретная случайная величина, принимающая значениес вероятностьюи значение– с вероятностью.

12. Дана случайная последовательность , описываемая следующим некаузальным разностным уравнением:

,

где – последовательность независимых гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найдите эквивалентное каузальное представление последовательности.

13. Выполните методом минимизации ошибки линейного предсказания приближенную спектральную факторизацию случайной последовательности, имеющей корреляционную функцию

.

Для аппроксимации заданной характеристики используйте линейный предсказатель первого порядка. Найдите корреляционную последовательность приближенного представления и сравните ее с исходной последовательностью.

14. Выполните методом минимизации ошибки линейного предсказания приближенную спектральную факторизацию случайной последовательности, определяемой выражением

,

где – белый шум с дисперсией. Для аппроксимации используйте линейный предсказатель первого порядка. Найдите корреляционную последовательность приближенного представления и сравните ее с исходной последовательностью.