Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

В.Н. ВАСЮКОВ, Д.В. ГОЛЕЩИХИН

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Сборник задач и упражнений

для студентов вузов

Новосибирск

2004

УДК 621.372.083.92 (076.1)

В 201

Рецензент: д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ

радиотехники НГТУ

Васюков В.Н., Голещихин Д.В.

В 201 Цифровая обработка сигналов: Сборник задач и упраж-

нений для студентов вузов. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,

2004. – 40 с.

Сборник содержит задачи и упражнения по цифровой обработке сигналов.

Сборник предназначен для студентов вузов, обучающихся

по направлению 552500 – «Радиотехника» и специальности

201200 – «Средства связи с подвижными объектами». Он мо-

жет быть использован при изучении цифровой обработки сиг-

налов студентами и магистрантами близких специальностей.

УДК 621.372.083.92 (076.1)

© Васюков В.Н., Голещихин Д.В., 2004

© Новосибирский государственный

технический университет, 2004

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦОС 5

2.-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 10

3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛИС-ЦЕПЕЙ 15

4. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ 21

5. МНОГОМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

И ЛИС-ЦЕПИ 24

6. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 26

7. ВЗАИМОСВЯЗЬ АНАЛОГОВЫХ, ДИСКРЕТНЫХ

И ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ 27

8. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 28

9. СИГНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 29

10. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 30

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 33

ЛИТЕРАТУРА 39

Введение

Предлагаемый задачник предназначен для студентов, изучающих дисциплины «Основы цифровой обработки сигналов», «Применение цифровой обработки сигналов», «Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи». Материал задачника может быть использован преподавателями при проведении практических занятий, а также студентами для самостоятельной работы. Кроме того, представлены два расчетно-графических задания для самостоятельного выполнения студентами при изучении указанных дисциплин.

Большинство предлагаемых задач, а также расчетно-гра-фические задания составлены авторами. Некоторые задачи заимствованы из литературы по цифровой обработке сигналов [1 – 8]. Задачи распределены по разделам, в основном соответствующим разделам учебника [1].

1. Математические основы цос

1. Пусть – множество действительных чисел. Проверьте, образует ли множествогруппу относительно операции сложения; относительно операции умножения.

2. Пусть – множество действительных чисел в интервале [0, 1]. Образует ли множествогруппу относительно операции сложения? относительно операции умножения?

3. Пусть – множество действительных чисел, принадлежащих интервалу [0, 1). Проверьте, образует ли множествогруппу относительно операции сложения по модулю 1. Операция сложения по модулюопределяется выражением

4. Пусть – множество всех четных целых чисел. Образует ли множествогруппу относительно операции сложения? относительно операции умножения?

5. Проверьте, выполняются ли аксиомы группы по сложению для:

а) множества всех матриц; б) множества всех матриц размера ; в) множества всех квадратных матриц; г) множества всех матриц размера(здесь и далееи– различные целые положительные числа).

6. Дано множество всех матриц размера . Проверьте, является ли это множество группой относительно операции матричного умножения. Если нет, то как нужно сузить это множество, чтобы выполнялись аксиомы группы? Что в этом случае представляет собой нейтральный элемент?

7. Дано множество {0, 1}, состоящее из целых чисел 0 и 1, с операцией сложения по модулю 2 . Проверьте, является ли это множество группой. Если да, то определите нейтральный элемент. Как найти элемент, обратный данному?

8. Дано множество целых чисел {0, 1, 2, 3, 4} с операцией сложения по модулю 5. Проверьте, является ли это множество группой. Что представляет собой нейтральный элемент? Как найти элемент, обратный данному?

9. Дано множество целых чисел {0, 1}. Проверьте, составляет ли оно группу относительно «обычной» операции умножения.

10. Дано множество целых чисел {0, 1} с операциями сложения по модулю 2 и обычного умножения. Является ли это множество полем?

11. Дано множество целых чисел {0, 1, 2}. Дайте определение операций (сложения и умножения), для которых это множество образует поле. Составьте таблицы сложения и умножения.

12. Дано множество M_N последовательностей длины N, каждая из которых определяется выражением

,

где ,;– поле действительных чисел. Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на действительное число:

,

, .

Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества M_N. Существует ли в M_N нулевой элемент? Запишите его. Найдите элемент, обратный последовательности .

13. Дано множество M_N последовательностей длины N, каждая из которых определяется выражением

,

где – всевозможные комплексные числа, вещественные и мнимые части которых не превосходят по абсолютной величине единицы, т.е.,. Дано поле комплексных чисел. Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на комплексное число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множестваM_N.

14. Дано множество М последовательностей бесконечной длины, каждая из которых определяется выражением

,

где,. Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на вещественное число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множестваM.

15. Дано множество M_N всех вещественных последовательностей конечной длины N, определенных при (см. задачу 1.12). Какова размерность пространстваM_N ? Задайте базис для M_N.

16. Один из возможных базисов для пространства последовательностей состоит из сдвинутых-последова-тельностей. Докажите, что набор из любого количества таких последовательностей линейно независим.

17. Дано множество последовательностей конечной длины . Проверьте, можно ли считать метриками следующие функции:

а) ,

б) ,

в)

18. Пусть (M, d) – метрическое пространство, т.е. множество элементов M с определенной на нем метрикой . Покажите, что функционалом

также можно задать метрику на M, определив таким образом другое метрическое пространство .

19. Пусть M – нормированное линейное пространство, норма элемента обозначается. Покажите, что функционаломнаM задается метрика.

20. Пусть M – линейное пространство со скалярным произведением. Покажите, что функционалом наM задается норма.

21. Даны две последовательности, принадлежащие пространству M:

,

.

Найдите: нормы ,; скалярное произведение; угол междуи; расстояние.

22. Даны последовательности конечной длины:

, ;

, .

Найдите: а) скалярное произведение ; б) скалярное произведение укороченных последовательностей при.

23. Пусть и– векторы единичной нормы в действительном пространстве со скалярным произведением. Покажите, что векторыивзаимно ортогональны.

24. Найдите нормы последовательностей

а) ,,

б) ,,

в) ,

г) ,

д) ,

е) .

25. Проверьте, является ли линейным пространством множество всех векторов единичной нормы на плоскости с обычным сложением векторов и умножением вектора на действительный скаляр.

26. Покажите, что при различной нумерации исходной системы векторов процедура Грама–Шмидта приводит к различным базисам.

27. Даны последовательности

;

;

,

принадлежащие пространству , натянутому на множество последовательностей. Проверьте линейную независимость последовательностей. Постройте ортонормальный базис в.

28. Докажите, что роль единицы для алгебры со сверткой в качестве обобщенного умножения играет-последовательность.

29. Докажите справедливость выражения

.

30. Докажите, что последовательность, принадлежащая , принадлежит также и.

31. Докажите, что -норма в трехмерном пространстве совпадает с обычным геометрическим определением длины (модуля) вектора.