МММ / ммм / Моделирование №1 Студенты бакалавры

Лабораторная работа №1 2012 РН1-01;РН1-02

« Модели диффузионных процессов для планарной технологии»

Отчет по данной теме должен включать в себя следующие задания:

1. Вывод обыкновенного уравнения диффузии в случаях:

а) одномерного приближения;

б) трехмерного приближения

2. Запись диффузионной модели в виде ящика;

3. Построение в EXCEL графиков Аррениуса для коэффициентов диффузии бора, фосфора, мышьяка и сурьмы в кремниевой пластине и определение коэффициента диффузии этих примесей по графику для Т=1000С.

4. Анализ диффузионной модели:

а) Проверка идентичности размерностей различных слагаемых в уравнении диффузии;

б) Анализ математического типа уравнения в диффузионной модели;

в) Описание краевых задач, имеющих аналитическое решение:

— Для точечного диффузионного источника (модель диффузии с постоянной дозой);

качественный вид решения для трех временных моментов;

— Для диффузионной загонке примеси с постоянной поверхностной концентрацией;

качественный вид решения для трех временных моментов;

— График спец. функций erf(z) и erfc(z) с описанием их математических свойств.

— Расчет дозы легирования и поверхностной концентрации для случаев:

а) распределения примеси по Гауссу;

б) распределения примеси по erfc(z);

г) Задача с неоднородным начальным условием

5. Учет влияния электрического поля на процесс диффузии примеси:

а) Гидродинамическая аналогия. Диффузионный и конвективный механизмы распространения вещества. Уравнение переноса. Качественный вид решения.

б) Запись диффузионной модели в приближении эффективного коэффициента диффузии с полным математическим обоснованием двумя способами;

в) Построение графика зависимости собственной концентрации от температуры в диапазоне от 800С до 1200С в форме Аррениуса. Построение графика зависимости коэффициента ускорения диффузии от переменной С/ni. Выводы

г)Описание диффузионной модели при совместной диффузии двух примесей. Построение качественного графика концентрационных профилей при диффузии мышьяка в однородно легированную бором подложку.

1.6 Графики распределений концентрации примеси для трех временных значений с характерной длиной L=0,1мкм; 0,5 мкм; 1 мкм. Пояснить, как при этом изменяется поверхностная концентрация.

1.7 Решение задач:

а) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной дозой в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Т=1100С; Cs=4*10¹⁷ см^-3; Xj=3мкм; Св=10^-15см^-3

б) Вычислить время процесса для диффузии бора с постоянной поверхностной концентрацией в n-кремниевой подложке при следующих условиях:

Т=950С; Cs=2,5*10²⁰ см^-3; внедренная доза – из предыдущей задачи;

с) Решение задачи о загонке мышьяка

Мышьяк загоняется в кремниевую пластину с концентрацией бора Св=10¹⁵ атом/см³ из газовой фазы при Т=1200С. При этом общая доза введенной примеси на единицу площади равна 10¹⁴ атомов/см². Определите время загонки мышьяка, если глубина p-n перехода составила 1 мкм. В данной задаче принять, что параметры коэффициента диффузии для мышьяка равны – D₀=24 см²/с, а Е_А=4,08 эВ.

Дополнительная призовая задача:

— Компьютеризированный расчет в EXCEL значений функций erf(z) и erfc(z)

— Запишите функцию Грина для уравнения диффузии и поясните как с помощью функции Грина можно найти решение уравнения диффузии

Фортранный код программы для вычисления значений функции erfc(z)

FUNCTION ERFC(XX)

C WRITTEN BY J.E. VOGEL FROM APPROXIMATIONS DERIVED BY W.J. CODY .

C

C ABSTRACT

C

C ERFC(X) COMPUTES 2.0/SQRT(PI) TIMES THE INTEGRAL FROM X TO

C INFINITY OF EXP(-X**2). THIS IS DONE USING RATIONAL APPROX-

C IMATIONS. ELEVEN CORRECT SIGNIFICANT FIGURES ARE PROVIDED.

C

C DESCRIPTION OF PARAMETERS

C

C X MAY BE ANY REAL VALUE

C

C ERFC IS DOCUMENTED COMPLETELY IN SC-M-70-275.

C

DIMENSION P1(4),Q1(4),P2(6),Q2(6),P3(4),Q3(4)

DATA (P1(I),I=1,4)/242.6679552305318,21.97926161829415,6.996383488

1619136,-3.560984370181539E-02/,

2(Q1(I),I=1,4)/215.0588758698612,91.16490540451490,15.0827976304077

39,1.0/,

4(P2(I),I=1,6)/22.898992851659,26.094746956075,14.571898596926,4.26

577201070898,.56437160686381,-6.0858151959688E-06/,

6(Q2(I),I=1,6)/22.898985749891,51.933570687552,50.273202863803,26.2

788795758761,7.5688482293618,1.0/,

8(P3(I),I=1,4)/-1.21308276389978E-2,-.1199039552681460,-.2439110294

988626,-3.24319519277746E-2/,

1(Q3(I),I=1,4)/4.30026643452770E-02,.489552441961437,1.437712279371

218,1.0/

DATA SQPI/.564189583547756/

C

X=ABS(XX)

X2=X*X

IF(XX.LT.-6.0)GO TO 320

IF(X.GT.25.8)GO TO 330

IF(X.GT.4.0)GO TO 300

IF(X.GT..46875)GO TO 200

A= X*(P1(1)+X2*(P1(2)+X2*(P1(3)+X2*P1(4))))

A=A/(Q1(1)+X2*(Q1(2)+X2*(Q1(3)+X2*Q1(4))))

IF(XX.LT.0.)A=-A

ERFC=1.0-A

GO TO 400

200 A=EXP(-X2)*(P2(1)+X*(P2(2)+X*(P2(3)+X*(P2(4)+X*(P2(5)+X*P2(6))))))

A=A/(Q2(1)+X*(Q2(2)+X*(Q2(3)+X*(Q2(4)+X*(Q2(5)+X*Q2(6))))))

IF(XX.LE.0.0)GO TO 210

ERFC=A

GO TO 400

210 ERFC=2.0-A

GO TO 400

300 XI2=1./X2

R=XI2*(P3(1)+XI2*(P3(2)+XI2*(P3(3)+XI2*P3(4))))/(Q3(1)+XI2*(Q3(2)+

1XI2*(Q3(3)+XI2*Q3(4))))

A=EXP(-X2)*(SQPI+R)/X

IF(XX.LT.0.0) GO TO 310

ERFC=A

GO TO 400

310 ERFC=2.0-A

GO TO 400

320 ERFC=2.0

GO TO 400

330 ERFC=0.0

400 RETURN

END

7