Основы квантовой механики

Согласно полуклассической квантовой механике:

• состояние микрочастицы описывается комплексной волновой функцией, удовлетворяющей условию нормировки. Квадрат модуля функции равен плотности вероятности обнаружения частицы;

• допустима суперпозиция состояний;

• физические величины – энергия, импульс, момент импульса и другие квантуются;

• существуют пары физических величин, у которых неустранимые погрешности измерения связаны соотношениями неопределенностей.

Теория, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на новом математическом основании:

• возможные состояния частицы образуют гильбертого пространство функций, то есть множество функций, для которых определено скалярное произведение в интегральной форме;

• физическая величина, характеризующая частицу, описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве состояний;

• из принципа суперпозиции состояний и вещественности физических величин следуют линейность и эрмитовость операторов;

• развитие состояния в пространстве и времени описывается уравнением Шредингера.

Математические основы квантовой механики разработал Шредингер в 1926 г.

Эрвин Шредингер (1887–1961)

Основные положения

Состояние частицы описывается комплексной волновой функцией, несущей информацию об амплитуде и фазе волны в каждой точке пространства и в каждый момент времени. Волновая функция получается в результате решения уравнения Шредингера. Множество волновых функций, соответствующих всевозможным состояниям частицы, образует гильбертого пространство.

Физическая величина описывается оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Если состояние частицы является собственной функцией оператора, то есть восстанавливающейся при действии оператора, то результатом измерения величины является собственное значение оператора для этой функции. Множество собственных волновых функций оператора с разными собственными значениями образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве. Коэффициенты разложение функции состояния по ортонормированному базису собственных функций оператора дают вероятности возможных результатов измерения физической величины.

Квантовая механика не дает однозначных результатов для характеристик частицы, но лишь вероятности этих результатов.

Волновая функция

Состояние частицы описывается комплексной функцией

,

являющейся амплитудой вероятности обнаружения частицы. Квадрат модуля волновой функции

равен плотности вероятности, то есть вероятности обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r

.

Вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме около точкиравна

.

Выполняется нормировка вероятности

.

Шредингер назвал волновую функцию «каталогом информации» о всевозможных результатах экспериментов с частицей.

Волновая функция:

1) Квадратично интегрируема, т. е. существует ;

2) Удовлетворяет принципу суперпозиции – если возможны состояния и, то возможно состояние

,

где – комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояния 1 или 2;

3) Функция определена не полностью, остается произвол в выборе постоянного фазового множителя. Состояния и, где, физически не различимы, плотность вероятности для них одинакова.