КМ-АХД-краткий конспект лекций

Системы массового обслуживания

10.Литература

11.Основные понятия теории массового обслуживания

12.Показатели эффективности системы массового обслуживания (СМО)

13.Классификация СМО

14.Моделирование СМО с помощью графов состояний. Процессы «рождения-гибели»

15.СМО с отказами в обслуживании

16.СМО с очередью

17.СМО с ограничением на длину очереди

10. Литература

Использованная при подготовке темы:

3.Таха Хамди. Введение в исследование операций. М.: Мир, 1985

4.Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. -144 с.: ил.

Рекомендуется для самостоятельного обучения:

2.Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере: учеб. пособие для вузов. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998. – 319 с.

3.Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.

Путко и др.; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407 с.

2. Основные понятия теории массового обслуживания Довольно часто в повседневной работе и быту приходится сталкиваться с

ситуациями, когда возникает необходимость пребывать в состоянии ожидания.

Встречающийся на каждом шагу «феномен» ожидания является прямым следствием вероятностного характера возникновения потребностей в том или ином виде обслуживания и разброса показателей соответствующих обслуживающих систем.

Действительно, ни время возникновения потребности в обслуживании, ни продолжительность обслуживания поступившей в обслуживающую систему заявки (или клиента), как правило, заранее не известны. В противном случае работу можно было бы организовать вовсе без очередей.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок на облуживание, возникают следующим образом. Поступив в

Количественные метолы АХД стр. 32 из 55

обслуживающую системы, заявка (требование) присоединяется к очереди других (ранее поступивших) заявок. Обслуживающий узел (прибор, канал) выбирает одну (из находящихся в очереди) заявку, с тем, чтобы приступить к ее обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания поступившей из очереди заявки обслуживающая система приступает к обслуживанию следующей заявки (если такая имеется в блоке ожидания). Цикл функционирования СМО повторяется многократно (в течение всего периода функционирования обслуживающей системы). При этом предполагается, что переход системы на обслуживание предыдущей заявки происходит мгновенно, т.е. без какой-либо задержки.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, управления, в которых однородные события повторяются многократно. Теория массового обслуживания рассматривает теоретические основы комплекса вопросов эффективности конструирования и эксплуатации СМО.

Основоположником теории массового обслуживания считается известный датский ученый А.К.Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 г. работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», ы

которой были поставлены и решены ряд задач по теории массового обслуживания.

Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли и советские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнезденко, А.Н.Колмогоков и др.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств,

которые называются каналами (приборами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть приборы, люди, автомашины, ремонтные бригады и пр.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью нерегулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится некоторое заранее неизвестное время, зависящее от случайных причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в другие интервалы времени возможно отсутствие заявок на входе системы, что приводит к недогрузке СМО, т.е. простаиванию каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО,

либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Схема СМО

по числу каналов – на одноканальные и многоканальные;

по дисциплине обслуживания – на СМО с отказами, с ожиданием, смешанного типа (с ограниченным ожиданием);

по дисциплине очереди – ПЕРПО, ПОСПО, СОЗ, КП;

по ограничению потока заявок – замкнутые и разомкнутые (открытые);

по количеству этапов обслуживания – на однофазные и многофазные.

6.Моделирование СМО с помощью графов состояний. Процессы «рождения-гибели» Если возможные состояния СМО имеют дискретный характер и конечны, то при их

описании используют схематическое изображение СМО в виде графов состояний.

При этом сами состояния изображают обычно в виде прямоугольников, а

возможные направления переходов из одного состояния в другое – стрелками. Так,

размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами имеет следующий вид:

Λ10

Система может находиться в одном из двух состояний: S0 – канал свободен и S1 –

канал занят. Переход системы из состояния S0 в состояние S1 происходит под воздействием пуассоновского (простейшего) потока заявок интенсивностью 01. Из состояния S1 в состояние S0 систему переводит уже поток обслуживания интенсивностью

10.

В связи с вероятностным характером состояний СМО можно сказать, что pi(t) – это вероятность того, что система будет находиться в состоянии Si в момент времени t. Такая вероятность определяется числом поступивших заявок на обслуживание (0 или 1 в

примере).

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t0, t1,…,tn система оказывается в том или ином заранее известном дискретном состоянии последовательно.

Случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния Si в соседнее состояние Sj не зависит от того, когда и как система перешла в состояние Si.

Рассмотрим немногим более сложную схему СМО с состояниями S0, S1 и S2.

Предполагается, что происходящий процесс непрерывен во времени.

Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное уравнение,

показывающее, что сумма вероятностей всех возможных состояний системы равна 1:

2

pi (t) p0 (t) p1 (t) p2 (t) 1

i 0

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времениt, и найдем вероятность p1(t+ t) того, что система в момент времени t+ t будет находится в состоянии S1, которое достигается несколькими возможными путями:

1. система в момент времени t с вероятностью p1(t) находилась в состоянии S1 и за малое приращение времени t не успела перейти в другое состояние (ни в S0, ни в S2).

промежуток времени t приближенно равна ( 10 + 12)* t, а вероятность невыхода из этого состояния равна (1-( 10 + 12)* t). В соответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии S1, на основании теоремы умножения вероятностей равна:

приближенно равной 01* t. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии

приближенно равной 21* t. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии

S1, в этом варианте равна p2(t)* 21* t.

Применим теперь теорему сложения вероятностей для этих вариантов: p1(t+ t) = p1(t) * (1-( 10 + 12)* t) + p0(t)* 01* t + p2(t)* 21* t

которое можно записать иначе:

p1 (t t) p1 (t) p0 (t) 01 p2 (t) 21 p1 (t)( 10 12 )

t

Переходя к пределу при t 0, приближенные равенства перейдут в точные,

получаем производные первого порядка

dpdt1 p0 01 p2 21 p1 ( 10 12 )

С учетом всех состояний системы получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова:

dpo p1 10 po 01

dt

dpdt1 p0 01 p2 21 p1 ( 10 12 )

dpdt2 p1 12 p2 21

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО Si

в функции времени pi(t). Из теории случайных процессов известно, что если число состояний системы конечно, а из каждого состояния можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые дают среднюю относительную величину времени пребывания системы в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S0 равна p0=0,2, то в среднем 20% времени система находится в состоянии S0.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получаем систему алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему очень просто составить по размеченному графу состояний СМО, используя следующие правила: слева стоит i-ая предельная вероятность (pi) рассматриваемого состояния Si,

умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки)

из данного состояния Si систему, а справа от знака равенства – сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние Si системы, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения этой системы в нее добавляют нормировочное уравнение:

n

pi 1

i 1

Составим систему предельных вероятностей для СМО с тремя состояниями:

Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов,

имеющих широкое применение при построении математических моделей в отраслях демографии, биологии, эпидемиологии, экономики, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы «рождения-гибели» имеющие следующие графы состояний:

Величина k отображает интенсивность рождения нового представителя некоторой популяции, причем текущий объем популяции равен k; величина является интенсивностью гибели одного представителя этой популяции, если текущий объем популяции равен k.

Найдем финальное распределение для такого процесса и составим уравнения для каждого состояния (S1, S2,…, Sk,…, Sn):

Для S0: 0p0= 0p1

S1: ( 1+ 0)p1= 0p0+ 1p2 или после преобразований 1p1= 1p2

Аналогично можно составить уравнения и для остальных состояний системы:

0p0= 0p11p1= 1p2

……………….

n-1pn-1= n-1pn

p0+p1+…+pn=1

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Пример:

Магазин самообслуживания оснащен на выходе двумя кассовыми аппаратами.

Размеченный граф их работы выглядит следующим образом:

S0 – обе кассы свободны;

S1 – одна касса занята (любая из двух);

S2 – обе кассы заняты.

Найдем предельные вероятности p0, p1, p2 при следующих исходных данных:

0 =1 пок/мин; 1 =0,8 пок/мин; 1= 2=0,6 пок/мин.

Следовательно, доля времени простоя касс составляет 20,4% от всего рабочего времени, и т.д.

6.СМО с отказами в обслуживании Рассмотрим одноканальную СМО с отказами в обслуживании.

На вход системы поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а

обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью .

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются:

диспетческая автотранспортного предприятия, контора склада и т.п., с которыми устанавливают связь по телефону.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

dpo (t) p1 (t) po (t) dt

dp1 (t) p1 (t) p0 (t) dt

p0(t) + p1(t) = 1

Отсюда дифференциальное уравнение для определения вероятности p0(t) состояния

S0:

dp0 (t) ( ) p0 (t) dt

Пусть в момент времени t=0 система находилась в состоянии S0, тогда p0(0) = 1, p1(0)=0. В этом случае решение дифференциального уравнения позволит определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

С течением времени вероятность того, что канал свободен уменьшается и в пределе при t= стремится к величине:

Функции p0(t) и p1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному

достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равного 3 .

Вероятность p0(t) определяет относительную пропускную способность (доля обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступивших заявок в единицу времени).

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t= , равна

A *

Соответственно доля заявок, получивших отказ при этих предельных условиях:

Пример. Статистическими исследованиями в результате наблюдения установлено,

что интенсивность потока телефонных звонков коммерческому директору фирмы =1,2

вызова в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживания заявки) tобсл =2,5

мин и все потоки событий имеют характер простейших пуассоновских потоков.

Количественные метолы АХД стр. 40 из 55

Определим предельную (относительную и абсолютную) пропускную способность СМО, вероятность отказа, а также полное число обслуженных и необслуженных заявок в

течение 1 часа работы СМО.

Размеченный граф состояний этой СМО приведен выше.

Начнем с определения интенсивности потока обслуживания (заявок в минуту) –

завершается через 3 =1,9 мин;

относительная пропускная способность или вероятность того, что канал свободен -

получивших отказ – 60* *p1=54 заявки.

Сравним фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е.

пропускной способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждая заявка обслуживалась ровно 2,5 мин и все заявки следовали бы одна за другой без

фактическая производительность, учитывающая случайный характер процесса,

происходящего в СМО, составляет только 75%=18:24*100% от номинальной.